Um objeto desliza ao longo de um trilho retilíneo sob a ação de uma força variável descrita pela função:
Sabendo que o objeto se desloca da posição
até
, determine:
(A) O trabalho realizado pela força sobre o objeto durante esse deslocamento.
(B) A interpretação física do sinal do trabalho neste intervalo.
(A) O trabalho realizado pela força sobre o objeto durante esse deslocamento.
(B) A interpretação física do sinal do trabalho neste intervalo.
Passo 1
O enunciado dá uma força variável ao longo do eixo
e pede duas coisas. Informações importantes que temos:
- A força é
(em newtons), com em metros. - O objeto se desloca de
até .
Perguntas pedidas:
(A) Determinar o trabalho realizado pela força no deslocamento de até
.
(B) Interpretar fisicamente o sinal do trabalho (ou seja, explicar o que significa se o trabalho for positivo, negativo ou nulo nesse intervalo).
(A) Determinar o trabalho realizado pela força no deslocamento de
(B) Interpretar fisicamente o sinal do trabalho (ou seja, explicar o que significa se o trabalho for positivo, negativo ou nulo nesse intervalo).
Passo 2
Qual método vamos usar? Quando a força varia com a posição ao longo de um deslocamento unidimensional, o trabalho realizado por essa força entre duas posições é dado pela integral da força em relação a
entre os limites do deslocamento. Ou seja, o trabalho
é
Explico esse conceito rapidinho: imagine dividir o deslocamento em pequenos trechos
. Em cada trecho a força pode ser considerada aproximadamente constante, então o trabalho elemental é
. Somando (integrando) esses pedaços e passando ao limite, obtemos a integral acima. A unidade resultante é newton·metro, que é o joule (
).
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso problema, temos
Agora preciso encontrar uma primitiva (antiderivada) do integrando. Vou mostrar passo a passo como obter a primitiva de cada termo usando a regra básica de potências: a antiderivada de
é
(para
), multiplicada pelo coeficiente.
Passo 4
Calcular a antiderivada termo a termo:
- Para
, a antiderivada é . - Para
, a antiderivada é . - Para
, a antiderivada é .
Portanto uma primitiva
do integrando é
Passo 5
Agora aplico o Teorema Fundamental do Cálculo:
. Vou avaliar
em
e
detalhadamente.
Avaliação em
:
Calcule cada termo:
Somando:
Se preferir em fração:
Avaliação em
:
Colocando em denominador comum
:
Passo 6
Subtraindo os valores para obter o trabalho:
Colocando em denominador comum
:
Simplificando por
:
Portanto o trabalho numérico é
(ou aproximadamente
).
Passo 7
Interpretação física do sinal do trabalho (parte B). Primeiro posso verificar o sinal de
no intervalo para reforçar a interpretação. Note que
A parte quadrática tem discriminante
, então
para todo
. Como no nosso intervalo
é positivo (
), conclui-se que
em todo o intervalo. Logo a força aponta no mesmo sentido do deslocamento em todo o percurso, o que leva a trabalho positivo.
Fisicamente, trabalho positivo significa que a força realiza trabalho sobre o objeto transferindo energia para ele. Pelo Teorema Trabalho-Energia, o trabalho resultante sobre o objeto é igual à variação da energia cinética
:
Como
aqui, a energia cinética do objeto aumenta — ou seja, a força tende a acelerar o objeto (aumentar sua velocidade), salvo se houver outras forças (como atrito) fazendo trabalho negativo; neste enunciado consideramos apenas a força dada.
Resposta
(A)
(B) : o trabalho é positivo, ou seja, a força atua no mesmo sentido do deslocamento e transfere energia para o objeto, aumentando sua energia cinética.
(B)