Um objeto desliza ao longo de um trilho retilíneo sob a ação de uma força variável descrita pela função:
F(x)=5 x^{3}-2 x^{2}+3 x \quad(\text { emnewtons }, \text { comxemmetros }) .
Sabendo que o objeto se desloca da posição x=1,0 m até x=3,0 m, determine:
(A) O trabalho realizado pela força sobre o objeto durante esse deslocamento.
(B) A interpretação física do sinal do trabalho neste intervalo.

Passo 1

O enunciado dá uma força variável ao longo do eixo x e pede duas coisas. Informações importantes que temos:
  • A força é \displaystyle F(x)=5x^{3}-2x^{2}+3x (em newtons), com x em metros.
  • O objeto se desloca de x=1{,}0\\ \mathrm{m} até x=3{,}0\\ \mathrm{m}.
Perguntas pedidas:
(A) Determinar o trabalho realizado pela força no deslocamento de x=1{,}0\\ \mathrm{m} até x=3{,}0\\ \mathrm{m}.
(B) Interpretar fisicamente o sinal do trabalho (ou seja, explicar o que significa se o trabalho for positivo, negativo ou nulo nesse intervalo).

Passo 2

Qual método vamos usar? Quando a força varia com a posição ao longo de um deslocamento unidimensional, o trabalho realizado por essa força entre duas posições é dado pela integral da força em relação a x entre os limites do deslocamento. Ou seja, o trabalho W é
W=\int_{x_1}^{x_2} F(x)\,dx.
Explico esse conceito rapidinho: imagine dividir o deslocamento em pequenos trechos \Delta x. Em cada trecho a força pode ser considerada aproximadamente constante, então o trabalho elemental é F\Delta x. Somando (integrando) esses pedaços e passando ao limite, obtemos a integral acima. A unidade resultante é newton·metro, que é o joule ( \mathrm{J}).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso problema, temos
W=\int_{1}^{3} \bigl(5x^{3}-2x^{2}+3x\bigr)\,dx.
Agora preciso encontrar uma primitiva (antiderivada) do integrando. Vou mostrar passo a passo como obter a primitiva de cada termo usando a regra básica de potências: a antiderivada de x^{n} é \dfrac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1), multiplicada pelo coeficiente.

Passo 4

Calcular a antiderivada termo a termo:
  • Para 5x^{3}, a antiderivada é 5\cdot \dfrac{x^{4}}{4}=\dfrac{5}{4}x^{4}.
  • Para -2x^{2}, a antiderivada é -2\cdot \dfrac{x^{3}}{3}=-\dfrac{2}{3}x^{3}.
  • Para 3x, a antiderivada é 3\cdot \dfrac{x^{2}}{2}=\dfrac{3}{2}x^{2}.
Portanto uma primitiva G(x) do integrando é
G(x)=\dfrac{5}{4}x^{4}-\dfrac{2}{3}x^{3}+\dfrac{3}{2}x^{2}.

Passo 5

Agora aplico o Teorema Fundamental do Cálculo: W=G(3)-G(1). Vou avaliar G(x) em x=3 e x=1 detalhadamente.
Avaliação em x=3:
G(3)=\dfrac{5}{4}\cdot 3^{4}-\dfrac{2}{3}\cdot 3^{3}+\dfrac{3}{2}\cdot 3^{2}.
Calcule cada termo:
3^{4}=81\quad\Rightarrow\quad \dfrac{5}{4}\cdot 81=\dfrac{405}{4}=101{,}25,
3^{3}=27\quad\Rightarrow\quad \dfrac{2}{3}\cdot 27=18\quad\Rightarrow\quad -\dfrac{2}{3}\cdot 27=-18,
3^{2}=9\quad\Rightarrow\quad \dfrac{3}{2}\cdot 9=\dfrac{27}{2}=13{,}5.
Somando:
G(3)=101{,}25-18+13{,}5=96{,}75.
Se preferir em fração:
G(3)=\dfrac{387}{4}.
Avaliação em x=1:
G(1)=\dfrac{5}{4}\cdot 1^{4}-\dfrac{2}{3}\cdot 1^{3}+\dfrac{3}{2}\cdot 1^{2} =\dfrac{5}{4}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{2}.
Colocando em denominador comum 12:
\dfrac{5}{4}=\dfrac{15}{12},\quad -\dfrac{2}{3}=-\dfrac{8}{12},\quad \dfrac{3}{2}=\dfrac{18}{12},
G(1)=\dfrac{15-8+18}{12}=\dfrac{25}{12}\approx 2{,}083\overline{3}.

Passo 6

Subtraindo os valores para obter o trabalho:
W=G(3)-G(1)=\dfrac{387}{4}-\dfrac{25}{12}.
Colocando em denominador comum 12:
\dfrac{387}{4}=\dfrac{1161}{12}\quad\Rightarrow\quad W=\dfrac{1161}{12}-\dfrac{25}{12}=\dfrac{1136}{12}.
Simplificando por 4:
W=\dfrac{284}{3}\\ \mathrm{J}\approx 94{,}666\ldots\\ \mathrm{J}.
Portanto o trabalho numérico é \dfrac{284}{3}\\ \mathrm{J} (ou aproximadamente 94{,}67\\ \mathrm{J}).

Passo 7

Interpretação física do sinal do trabalho (parte B). Primeiro posso verificar o sinal de F(x) no intervalo para reforçar a interpretação. Note que
F(x)=5x^{3}-2x^{2}+3x = x\bigl(5x^{2}-2x+3\bigr).
A parte quadrática tem discriminante \Delta =(-2)^{2}-4\cdot 5\cdot 3=4-60=-56<0, então 5x^{2}-2x+3>0 para todo x. Como no nosso intervalo x é positivo ( x\in[1,3]), conclui-se que F(x)>0 em todo o intervalo. Logo a força aponta no mesmo sentido do deslocamento em todo o percurso, o que leva a trabalho positivo.
Fisicamente, trabalho positivo significa que a força realiza trabalho sobre o objeto transferindo energia para ele. Pelo Teorema Trabalho-Energia, o trabalho resultante sobre o objeto é igual à variação da energia cinética \Delta K:
W=\Delta K.
Como W>0 aqui, a energia cinética do objeto aumenta — ou seja, a força tende a acelerar o objeto (aumentar sua velocidade), salvo se houver outras forças (como atrito) fazendo trabalho negativo; neste enunciado consideramos apenas a força dada.

Resposta

(A) \displaystyle W=\frac{284}{3}\\ \mathrm{J}\approx 94{,}67\\ \mathrm{J}.
(B) W>0: o trabalho é positivo, ou seja, a força atua no mesmo sentido do deslocamento e transfere energia para o objeto, aumentando sua energia cinética.

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