Teorema III: O Perfil Parabólico de um Fluido em Rotação. Nosso objetivo: provar rigorosamente que a superfície da água em um balde girando é uma parábola.
(a)
i. O fluido gira como um corpo rígido com velocidade angular omega. Qual é a velocidade tangencial v_{\theta} de uma partícula a uma distância r do centro? ii. Embora a rapidez v_{\theta} seja constante para uma partícula, o vetor \vec{v} muda de direção. Isso significa que há uma aceleração: a aceleração centrípeta, a_{r}=-v_{\theta}^{2} / r. Qual é a expressão para a_{r} em termos de omega e r ?

Passo 1

O enunciado nos dá que um fluido (água no balde) gira como um corpo rígido com velocidade angular \omega. As perguntas são duas:
  1. (i) Qual é a velocidade tangencial \;v_{\theta}\; de uma partícula que está a uma distância \;r\; do centro?
  2. (ii) Dado que a direção do vetor velocidade muda mesmo que sua magnitude seja constante, qual é a expressão da aceleração centrípeta radial \;a_{r} = -\dfrac{v_{\theta}^{2}}{r}\; em termos de \omega e \;r\; ?
Informações relevantes fornecidas:
  • A velocidade angular é \omega (constante).
  • A distância do centro é \;r.
  • A fórmula geral já dada para aceleração centrípeta é \;a_{r} = -\dfrac{v_{\theta}^{2}}{r} (direção radial para dentro, por isso o sinal negativo).

Passo 2

Vamos achar a velocidade tangencial \;v_{\theta}.
Conceito-chave (passo a passo): numa rotação circular de raio \;r\; a posição angular é \theta(t). O arco percorrido em um tempo t tem comprimento \;s = r\theta\; (essa é a relação geométrica entre arco e ângulo: arco = raio × ângulo, com \theta em radianos). Diferenciando em relação ao tempo obtemos a velocidade linear (tangencial):
v_{\theta} = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(r\theta) = r\,\frac{d\theta}{dt}.
Por definição, a velocidade angular é \omega = \dfrac{d\theta}{dt}. Substituindo:
v_{\theta} = r\,\omega.
Explicação em palavras: a velocidade tangencial cresce proporcionalmente ao raio — se você dobrar \;r\; mantendo \omega igual, a parte externa se move com o dobro da velocidade linear. Unidades: se \omega está em \mathrm{rad/s} e \;r\; em \mathrm{m}, então v_{\theta} fica em \mathrm{m/s}.

Passo 3

Agora vamos expressar a aceleração centrípeta \;a_{r} em termos de \omega e \;r.
Intuição e derivação simples (sem jargão pesado): mesmo que a magnitude de \vec{v} seja constante, sua direção muda. Em um pequeno intervalo de tempo \Delta t a velocidade gira um pequeno ângulo \Delta\theta. A mudança de vetor velocidade \Delta \vec{v} tem módulo aproximado \;|\Delta\vec{v}|\approx v_{\theta}\,\Delta\theta (isso vem da geometria do triângulo formado pelos vetores antes e depois). Dividindo por \Delta t dá uma aceleração média:
a \approx \frac{|\Delta\vec{v}|}{\Delta t} \approx v_{\theta}\,\frac{\Delta\theta}{\Delta t} = v_{\theta}\,\omega.
Mas \omega = \dfrac{v_{\theta}}{r} (rearranjando \;v_{\theta}=r\omega). Substituindo:
a = v_{\theta}\,\omega = v_{\theta}\,\frac{v_{\theta}}{r} = \frac{v_{\theta}^{2}}{r}.
Como essa aceleração aponta para o centro, adotamos o sinal negativo para indicar direção radial para dentro:
a_{r} = -\frac{v_{\theta}^{2}}{r}.
Agora substituímos \;v_{\theta}=r\omega para escrever \;a_{r} em função de \omega e \;r:
a_{r} = -\frac{(r\omega)^{2}}{r} = -\frac{r^{2}\omega^{2}}{r} = -\omega^{2} r.
Interpretação: a aceleração centrípeta tem módulo \omega^{2} r e aponta para o centro. Unidades: \omega^{2} r tem unidades \mathrm{(rad/s)^2 \cdot m} = \mathrm{m/s^2}, apropriadas para aceleração.

Passo 4

Um exemplo numérico rápido para fixar e te animar: se \omega = 2\\ \mathrm{rad/s} e r = 0,5\\ \mathrm{m}, então
v_{\theta} = r\omega = 0{,}5\cdot 2 = 1\\ \mathrm{m/s},
e
a_{r} = -\omega^{2} r = -(2)^{2}\cdot 0{,}5 = -2\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Ou seja, a partícula tem velocidade tangencial \;1\\ \mathrm{m/s} e aceleração centrípeta de módulo \;2\\ \mathrm{m/s^{2}} apontando para o centro.
Vai dar certo — memorizando as duas fórmulas \;v_{\theta}=r\omega e \;a_{r}=-\omega^{2}r você resolve essa parte da prova rapidinho.

Resposta

v_{\theta} = r\,\omega
a_{r} = -\omega^{2}\,r

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