Teorema III: O Perfil Parabólico de um Fluido em Rotação. Nosso objetivo: provar rigorosamente que a superfície da água em um balde girando é uma parábola.
(a)
i. O fluido gira como um corpo rígido com velocidade angular
. Qual é a velocidade tangencial
de uma partícula a uma distância
do centro? ii. Embora a rapidez
seja constante para uma partícula, o vetor
muda de direção. Isso significa que há uma aceleração: a aceleração centrípeta,
. Qual é a expressão para
em termos de
e
?
(a)
i. O fluido gira como um corpo rígido com velocidade angular
Passo 1
O enunciado nos dá que um fluido (água no balde) gira como um corpo rígido com velocidade angular
. As perguntas são duas:
- (i) Qual é a velocidade tangencial
de uma partícula que está a uma distância do centro? - (ii) Dado que a direção do vetor velocidade muda mesmo que sua magnitude seja constante, qual é a expressão da aceleração centrípeta radial
em termos de e ?
Informações relevantes fornecidas:
- A velocidade angular é
(constante). - A distância do centro é
. - A fórmula geral já dada para aceleração centrípeta é
(direção radial para dentro, por isso o sinal negativo).
Passo 2
Vamos achar a velocidade tangencial
.
Conceito-chave (passo a passo): numa rotação circular de raio
a posição angular é
. O arco percorrido em um tempo
tem comprimento
(essa é a relação geométrica entre arco e ângulo: arco = raio × ângulo, com
em radianos). Diferenciando em relação ao tempo obtemos a velocidade linear (tangencial):
Por definição, a velocidade angular é
. Substituindo:
Explicação em palavras: a velocidade tangencial cresce proporcionalmente ao raio — se você dobrar
mantendo
igual, a parte externa se move com o dobro da velocidade linear. Unidades: se
está em
e
em
, então
fica em
.
Passo 3
Agora vamos expressar a aceleração centrípeta
em termos de
e
.
Intuição e derivação simples (sem jargão pesado): mesmo que a magnitude de
seja constante, sua direção muda. Em um pequeno intervalo de tempo
a velocidade gira um pequeno ângulo
. A mudança de vetor velocidade
tem módulo aproximado
(isso vem da geometria do triângulo formado pelos vetores antes e depois). Dividindo por
dá uma aceleração média:
Mas
(rearranjando
). Substituindo:
Como essa aceleração aponta para o centro, adotamos o sinal negativo para indicar direção radial para dentro:
Agora substituímos
para escrever
em função de
e
:
Interpretação: a aceleração centrípeta tem módulo
e aponta para o centro. Unidades:
tem unidades
, apropriadas para aceleração.
Passo 4
Um exemplo numérico rápido para fixar e te animar: se
e
, então
e
Ou seja, a partícula tem velocidade tangencial
e aceleração centrípeta de módulo
apontando para o centro.
Vai dar certo — memorizando as duas fórmulas
e
você resolve essa parte da prova rapidinho.