(Teorema do Sanduíche) Seja
para todo
em um intervalo aberto contendo
, exceto possivelmente para o próprio
. Prove que se
, então
.
Passo 1
O enunciado diz que temos três funções f, h e g definidas num intervalo aberto ao redor de a (exceto talvez em a), tais que
para todo x nessa vizinhança. Já sabemos que
e
. O objetivo é mostrar que
. Este é o famoso Teorema do Sanduíche (ou do Confronto) para limites.
Passo 2
Lembrando a definição de limite: dizer que
significa que para todo
existe
tal que, sempre que
, temos
Passo 3
De forma análoga, como
, existe
tal que, para todo
, vale
Passo 4
Agora, seja
dado. Tomamos
. Então, sempre que
, sabemos simultaneamente que
Passo 5
Da cadeia acima segue diretamente que
Isso mostra, pelo próprio critério