(Teorema do Sanduíche) Seja f(x) <= h(x) <= g(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente para o próprio a. Prove que se lim x a f(x)=L=lim x a g(x), então lim x a h(x)=L.

Passo 1

O enunciado diz que temos três funções f, h e g definidas num intervalo aberto ao redor de a (exceto talvez em a), tais que f(x) <= h(x) <= g(x) para todo x nessa vizinhança. Já sabemos que limxto af(x)=L e limxto ag(x)=L. O objetivo é mostrar que limxto ah(x)=L. Este é o famoso Teorema do Sanduíche (ou do Confronto) para limites.

Passo 2

Lembrando a definição de limite: dizer que limxto af(x)=L significa que para todo varepsilon>0 existe de0 tal que, sempre que 0<|x-a|, temos
|f(x)-L|

Passo 3

De forma análoga, como limxto ag(x)=L, existe de0 tal que, para todo 0<|x-a|, vale
|g(x)-L|

Passo 4

Agora, seja varepsilon>0 dado. Tomamos de. Então, sempre que 0<|x-a|, sabemos simultaneamente que
-varepsilon < f(x)-L <= h(x)-L <= g(x)-L < varepsilon

Passo 5

Da cadeia acima segue diretamente que
|h(x)-L|
Isso mostra, pelo próprio critério varepsilon- de, que limxto ah(x)=L.

Resposta

limxto ah(x)=L

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