Teorema de Schwarz. Seja f: R^2 R uma função. Suponha que f seja definida em uma bola aberta D que contenha o ponto (a, b). Se as funções fx y e fy x forem contínuas em D então
fx y(a, b)=fy x(a, b)
(a) Calcule todas as derivadas parciais de primeira e de segunda ordens da função f(x, y)=x sen y.
(b) fx y e fy x satisfazem as condições do teorema?

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema de Schwarz, que afirma que se fcolonR^2toR tiver as derivadas parciais cruzadas fxy e fyx contínuas num aberto contendo (a,b), então
fxy(a,b)=fyx(a,b)
Aqui f(x,y)=xsin y, definida em toda R^2. Vamos calcular as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem e checar a continuidade de fxy e fyx.

Passo 2

Para as derivadas parciais de primeira ordem aplicamos a definição:
fx(x,y)=partialpartial xl(xsin yr) =sin y,
fy(x,y)=partialpartial yl(xsin yr) =xcos y

Passo 3

Agora derivamos mais uma vez para obter as de segunda ordem:
fxx(x,y)=partialpartial xl(fx(x,y)r) =partialpartial x(sin y)=0,
fxy(x,y)=partialpartial yl(fx(x,y)r) =partialpartial y(sin y)=cos y,
fyx(x,y)=partialpartial xl(fy(x,y)r) =partialpartial x(xcos y)=cos y,
fyy(x,y)=partialpartial yl(fy(x,y)r) =partialpartial y(xcos y)=-,xsin y

Passo 4

As funções fxy(x,y)=cos y e fyx(x,y)=cos y são contínuas em todo R^2, pois cos y é contínua para todo y. Logo, satisfazem as hipóteses do Teorema de Schwarz e de fato
fxy(x,y)=fyx(x,y)
para todo (x,y).

Resposta

As derivadas parciais são:
fx=sin y, fy=xcos y,
fxx=0, fxy=cos y, fyx=cos y, fyy=-xsin y
E como fxy e fyx são contínuas em R^2, elas satisfazem as condições do Teorema de Schwarz, garantindo fxy=fyx.

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