Teorema de Schwarz. Seja
uma função. Suponha que
seja definida em uma bola aberta
que contenha o ponto
. Se as funções
e
forem contínuas em
então
(a) Calcule todas as derivadas parciais de primeira e de segunda ordens da função
.
(b)
e
satisfazem as condições do teorema?
(b)
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teorema de Schwarz, que afirma que se
tiver as derivadas parciais cruzadas
e
contínuas num aberto contendo
, então
Aqui
, definida em toda
. Vamos calcular as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem e checar a continuidade de
e
.
Passo 2
Para as derivadas parciais de primeira ordem aplicamos a definição:
Passo 3
Agora derivamos mais uma vez para obter as de segunda ordem:
Passo 4
As funções
e
são contínuas em todo
, pois
é contínua para todo
. Logo, satisfazem as hipóteses do Teorema de Schwarz e de fato
para todo
.
Resposta
As derivadas parciais são:
E como
e
são contínuas em
, elas satisfazem as condições do Teorema de Schwarz, garantindo
.