Usando a integral de convolução encontre a transformada inversa de Laplace para as funções:

Passo 1

O exercício pede a transformada inversa de Laplace de F(s)=1s^2(s^2+1) usando o teorema da convolução. O conteúdo é Transformada de Laplace e inversão via convolução, e vamos precisar das transformadas inversas de 1/s^2 e 1/(s^2+1).

Passo 2

Reconhecemos que F(s)=1s^2cdot1s^2+1, então, pela propriedade de convolução, a inversa é a convolução no tempo das funções cujas transformadas são esses fatores: f1(t)=L^-11/s^2 e f2(t)=L^-11/(s^2+1).
Sabendo que L^-11/s^2=t e L^-11/(s^2+1)=sin t, temos
f(t)=(f1*f2)(t)=integral0^ttau,sin(t-tau),dtau

Passo 3

Para calcular a integral, fazemos a mudança de variável u=t-tau, obtendo
f(t)=integral0^t(t-u),sin u,du
Agora separamos:
integral0^t(t-u),sin u,du = tintegral0^tsin u,du - integral0^tu,sin u,du

Passo 4

Calculamos separadamente:
integral0^tsin u,du = 1-cos t,
integral0^tu,sin u,du = [-ucos u + sin u]0^t = -tcos t + sin t

Passo 5

Substituindo de volta:
f(t) = t(1-cos t) - (-tcos t + sin t) = t - sin t

Resposta

f(t)=t-sin t

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