Teoria de amostragem
  1. Conceitos básicos
População: é o conjunto formado por indivíduos ou objetos que têm pelo menos uma variável comum e observável. Podemos falar em:
  • população dos alunos do primeiro período de uma faculdade;
  • população dos operários da indústria automobilística;
  • população de alturas em cm das pessoas de determinado bairro;
  • população de peças fabricadas numa linha de produção, e assim por diante.
    Definiremos como tamanho de uma população finita o número de elementos que a compõem. Usaremos N para designar esse número.
    Amostra: fixada uma população, qualquer subconjunto formado exclusivamente por seus elementos é denominado amostra desta população. Usaremos n para indicar o número de elementos da amostra, o seu tamanho.
Amostragem: é o processo de seleção de uma amostra, que possibilita o estudo das características da população.
Erro amostral: é o erro que ocorre justamente pelo uso da amostra. Parâmetro: é a medida usada para descrever uma característica numérica populacional.
Genericamente representaremos por \theta. A média (\mu), a variância \left(\sigma^{2}\right) e o coeficiente de correlação ( \rho ) são alguns exemplos de parâmetros populacionais.
Estimador: também denominado estatística de um parâmetro populacional; é uma característica numérica determinada na amostra, uma função de seus elementos. Genericamente, representaremos por \hat{\theta}. A média amostral (\bar{x}), a variância amostral \left(s^{2}\right) e o coeficiente de correlação amostral ( r ) são exemplos de estimadores.
Estimativa: é o valor numérico determinado pelo estimador, que genericamente representaremos por \hat{\theta}_{0}.
Logo, o erro amostral, que designaremos por \varepsilon, é definido por:
\varepsilon=\hat{\theta}-\theta

Passo 1

O que você me deu e o que eu vou fazer aqui: você forneceu um bloco de teoria chamado “Teoria de amostragem — 1. Conceitos básicos” contendo definições (população, amostra, N, n, parâmetro \theta, estimador \hat{\theta}, estimativa \hat{\theta}_0 e erro amostral \varepsilon=\hat{\theta}-\theta). O que eu vou fazer neste passo-a-passo é:
  • deixar claro quais são as informações dadas no texto (lista delas);
  • explicar, de forma didática e sem pular etapas, cada conceito importante que aparece no texto;
  • mostrar fórmulas essenciais e como usá-las na prática (com contas passo a passo e um exemplo numérico pequeno);
  • dar dicas práticas para a prova (o que normalmente pedem e como responder rápido).
Informações relevantes que vieram do seu enunciado:
  • População é o conjunto total de interesse; tamanho da população finita: N.
  • Amostra é um subconjunto de elementos da população; tamanho da amostra: n.
  • Parâmetro populacional (ex.: média \mu, variância \sigma^2, coeficiente \rho) é denotado genericamente por \theta.
  • Estimador (estatística) é a função dos dados amostrais que serve para estimar \theta; denotamos por \hat{\theta}.
  • Estimativa é o valor numérico concreto que obtemos na amostra: \hat{\theta}_0.
  • Erro amostral é \varepsilon=\hat{\theta}-\theta.

Passo 2

População e amostra — desenrolando com exemplos e intuição
  • População: pense como o conjunto total de tudo que te interessa. Ex.: “todos os alunos do primeiro período” (isso é uma população). O tamanho dessa população é N.
  • Amostra: é um pedacinho representativo (esperado) da população. Se você escolhe n alunos dentre os N, esse conjunto de n é a amostra.
    Por que usamos amostras? Porque geralmente é impossível medir toda a população (tempo, custo). O objetivo é inferir características da população a partir da amostra.
Dica prática: sempre anote se N é grande ou pequeno e se a amostra é com ou sem reposição — isso muda fórmulas.

Passo 3

Parâmetro, estimador e estimativa — diferença prática e notação
  • Parâmetro: verdadeiro valor populacional que você quer conhecer; exemplo: média populacional \mu, variância populacional \sigma^2. É fixo, geralmente desconhecido.
  • Estimador: regra (fórmula) que usa os dados da amostra para produzir uma estimativa; é uma variável aleatória. Exemplos: \text{estimador da média}:\\ \\ \hat{\mu} = \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.é
\text{estimador da variância}:\\ \\ s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2.â
  • Estimativa: o número que você obtém ao aplicar o estimador aos dados observados — por exemplo, se a sua amostra é 2,4,6 e \bar{X}=4, então a estimativa da média é \hat{\mu}_0=4.

Passo 4

Erro amostral — interpretação e fórmula
  • Definição: o erro amostral (o “desvio” entre o que estimamos e o que realmente é) é \varepsilon = \hat{\theta} - \theta.
  • Interpretação: em geral não conhecemos \theta; a amostra dá \hat{\theta}. O objetivo em estatística é quantificar quão provável é que \hat{\theta} esteja “perto” de \theta (intervalos de confiança) e quão grande é a variabilidade de \hat{\theta} (erro padrão).

Passo 5

Definição e propriedades da média amostral \bar{X} — passo a passo e prova simples de que é não viesada
  • Definição: \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i,onde X_1,\dots,X_n são as observações da amostra.
  • Propriedade importante: a média amostral é um estimador não viesado da média populacional \mu. Ou seja, E(\bar{X})=\mu.
  • Por que isso é verdade? Raciocínio passo-a-passo:
    1. Use a linearidade da esperança: E\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(X_i).
    2. Se cada X_i tem média \mu (mesma população), então \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(X_i)=\frac{1}{n}\cdot n\mu=\mu.
  • Conclusão prática: quando te pedem para justificar que \bar{X} estima \mu sem viés, basta mostrar essa conta.

Passo 6

Variância da média \bar{X} — erro padrão e correções para população finita
  • Erro padrão (variabilidade de \bar{X}): a variância do estimador \bar{X} mede o quanto \bar{X} oscila entre amostras. Para amostragem com reposição (ou quando assumimos amostras independentes), temos \operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n},onde \sigma^2 é a variância populacional.
  • Se a amostra é retirada sem reposição (o caso clássico em populações finitas), as observações não são independentes e entra a correção por população finita (FPC): \operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n}\cdot\frac{N-n}{N-1}.A parte \dfrac{N-n}{N-1} é o fator de correção e reduz a variância quando a amostra é uma fração significativa da população.
  • Erro padrão (desvio padrão do estimador): o erro padrão é a raiz quadrada da variância: \text{erro padrão} = \operatorname{SE}(\bar{X})=\sqrt{\operatorname{Var}(\bar{X})}.ã
  • Interpretação prática: quanto maior n, menor \operatorname{Var}(\bar{X}). Quando N é muito maior que n, \dfrac{N-n}{N-1}\approx 1, e a fórmula com e sem reposição ficam praticamente iguais.

Passo 7

Estimador da variância amostral s^2 e por que usamos n-1 (derivação curta)
  • Definição do estimador amostral não viesado: s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2.
  • Por que dividimos por n-1 e não por n? Resposta passo-a-passo (intuição e conta):
    1. Identidade algébrica: \sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2 = \sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2 - n(\bar{X}-\mu)^2.
    2. Tirando esperança: E\!\left[\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2\right] = E\!\left[\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2\right] - n E\!\left[(\bar{X}-\mu)^2\right].
    3. Agora, E\!\left[\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2\right]=n\sigma^2 e E\!\left[(\bar{X}-\mu)^2\right]=\operatorname{Var}(\bar{X})=\sigma^2/n (no caso de amostragem com independência).
    4. Substituindo: n\sigma^2 - n(\sigma^2/n) = n\sigma^2 - \sigma^2 = (n-1)\sigma^2.
    5. Assim, dividindo por n-1 obtemos esperança igual a \sigma^2, ou seja, E(s^2)=\sigma^2: o estimador é não viesado.
  • Conclusão prática: se alguém te perguntar “por que n-1?”, mostre os passos 1–4 ou diga que o ajuste corrige o viés causado pelo uso de \bar{X} em vez de \mu.

Passo 8

Noção de viés, erro padrão e MSE — como responder em prova
  • Viés de um estimador \hat{\theta}: \text{viés}(\hat{\theta}) = E(\hat{\theta}) - \theta.éSe é zero, dizemos que o estimador é não viesado.
  • Erro padrão (ou desvio padrão do estimador): \operatorname{SE}(\hat{\theta})=\sqrt{\operatorname{Var}(\hat{\theta})}.
  • Erro quadrático médio (MSE): \operatorname{MSE}(\hat{\theta}) = E\big[(\hat{\theta}-\theta)^2\big] = \operatorname{Var}(\hat{\theta}) + \big(\text{viés}(\hat{\theta})\big)^2.éNa prova, se pedirem comparar estimadores, verificar MSE é uma forma completa de julgar (combina variância e viés).

Passo 9

Exemplo numérico prático — passo a passo de contas que você pode fazer na prova sem calculadora (pequeno e didático)
Considere a amostra com n=3 observações: X_1=2,\\ X_2=4,\\ X_3=6.
  1. Média amostral: \bar{X}=\frac{1}{3}(2+4+6)=\frac{12}{3}=4.
  2. Soma dos quadrados em relação à média: \sum_{i=1}^3 (X_i-\bar{X})^2 = (2-4)^2+(4-4)^2+(6-4)^2 = 4+0+4 = 8.
  3. Variância amostral (não viesada): s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2 = \frac{1}{2}\cdot 8 = 4.
  4. Erro padrão aproximado da média (assumindo que s^2 estima \sigma^2): \operatorname{SE}(\bar{X}) \approx \sqrt{\frac{s^2}{n}} = \sqrt{\frac{4}{3}} \approx 1,155.
Interpretação simples: com essa amostra a estimativa da média é 4 e a incerteza (erro padrão) é cerca de 1,155.

Passo 10

Tipos de amostragem (resumo rápido e quando aparecem em prova)
  • Amostragem aleatória simples (SRS): cada conjunto de n elementos tem igual probabilidade. Fórmulas que vimos (variância \sigma^2/n, FPC) são usadas aqui.
  • Amostragem estratificada: dividir população em estratos homogêneos e amostrar dentro de cada estrato; reduz variância se estratos bem escolhidos.
  • Aglomerados (cluster): população dividida em clusters heterogêneos, selecionam-se clusters inteiros; custo menor, variância pode ser maior.
  • Sistemática: escolher cada k-ésimo elemento; fácil de aplicar, mas cuidado com padrões na população.
    Dica de prova: identifique o tipo de amostragem primeiro — isso dita quais fórmulas usar (FPC, variância com/sem reposição, pesos em estratificada).

Resposta

\varepsilon=\hat{\theta}-\theta
\bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i,\quad E(\bar{X})=\mu
\operatorname{Var}(\bar{X})=\dfrac{\sigma^2}{n} (com reposição ou amostras independentes)
\operatorname{Var}(\bar{X})=\dfrac{\sigma^2}{n}\cdot\dfrac{N-n}{N-1} (sem reposição — FPC)
s^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2,\quad E(s^2)=\sigma^2
\operatorname{SE}(\bar{X})=\sqrt{\operatorname{Var}(\bar{X})}

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