Teoria de amostragem
- Conceitos básicos
População: é o conjunto formado por indivíduos ou objetos que têm pelo menos uma variável comum e observável. Podemos falar em:
- população dos alunos do primeiro período de uma faculdade;
- população dos operários da indústria automobilística;
- população de alturas em cm das pessoas de determinado bairro;
- população de peças fabricadas numa linha de produção, e assim por diante.
Definiremos como tamanho de uma população finita o número de elementos que a compõem. Usaremos
para designar esse número.
Amostra: fixada uma população, qualquer subconjunto formado exclusivamente por seus elementos é denominado amostra desta população. Usaremos
para indicar o número de elementos da amostra, o seu tamanho.
Amostragem: é o processo de seleção de uma amostra, que possibilita o estudo das características da população.
Erro amostral: é o erro que ocorre justamente pelo uso da amostra. Parâmetro: é a medida usada para descrever uma característica numérica populacional.
Genericamente representaremos por
. A média
, a variância
e o coeficiente de correlação (
) são alguns exemplos de parâmetros populacionais.
Estimador: também denominado estatística de um parâmetro populacional; é uma característica numérica determinada na amostra, uma função de seus elementos. Genericamente, representaremos por
. A média amostral
, a variância amostral
e o coeficiente de correlação amostral (
) são exemplos de estimadores.
Estimativa: é o valor numérico determinado pelo estimador, que genericamente representaremos por
.
Logo, o erro amostral, que designaremos por
, é definido por:
Definiremos como tamanho de uma população finita o número de elementos que a compõem. Usaremos
Amostra: fixada uma população, qualquer subconjunto formado exclusivamente por seus elementos é denominado amostra desta população. Usaremos
Genericamente representaremos por
Passo 1
O que você me deu e o que eu vou fazer aqui: você forneceu um bloco de teoria chamado “Teoria de amostragem — 1. Conceitos básicos” contendo definições (população, amostra, N, n, parâmetro
, estimador
, estimativa
e erro amostral
). O que eu vou fazer neste passo-a-passo é:
- deixar claro quais são as informações dadas no texto (lista delas);
- explicar, de forma didática e sem pular etapas, cada conceito importante que aparece no texto;
- mostrar fórmulas essenciais e como usá-las na prática (com contas passo a passo e um exemplo numérico pequeno);
- dar dicas práticas para a prova (o que normalmente pedem e como responder rápido).
Informações relevantes que vieram do seu enunciado:
- População é o conjunto total de interesse; tamanho da população finita:
. - Amostra é um subconjunto de elementos da população; tamanho da amostra:
. - Parâmetro populacional (ex.: média
, variância , coeficiente ) é denotado genericamente por . - Estimador (estatística) é a função dos dados amostrais que serve para estimar
; denotamos por . - Estimativa é o valor numérico concreto que obtemos na amostra:
. - Erro amostral é
.
Passo 2
População e amostra — desenrolando com exemplos e intuição
- População: pense como o conjunto total de tudo que te interessa. Ex.: “todos os alunos do primeiro período” (isso é uma população). O tamanho dessa população é
. - Amostra: é um pedacinho representativo (esperado) da população. Se você escolhe
alunos dentre os , esse conjunto de é a amostra.
Por que usamos amostras? Porque geralmente é impossível medir toda a população (tempo, custo). O objetivo é inferir características da população a partir da amostra.
Dica prática: sempre anote se
é grande ou pequeno e se a amostra é com ou sem reposição — isso muda fórmulas.
Passo 3
Parâmetro, estimador e estimativa — diferença prática e notação
- Parâmetro: verdadeiro valor populacional que você quer conhecer; exemplo: média populacional
, variância populacional . É fixo, geralmente desconhecido. - Estimador: regra (fórmula) que usa os dados da amostra para produzir uma estimativa; é uma variável aleatória. Exemplos:
- Estimativa: o número que você obtém ao aplicar o estimador aos dados observados — por exemplo, se a sua amostra é
e , então a estimativa da média é .
Passo 4
Erro amostral — interpretação e fórmula
- Definição: o erro amostral (o “desvio” entre o que estimamos e o que realmente é) é
- Interpretação: em geral não conhecemos
; a amostra dá . O objetivo em estatística é quantificar quão provável é que esteja “perto” de (intervalos de confiança) e quão grande é a variabilidade de (erro padrão).
Passo 5
Definição e propriedades da média amostral
— passo a passo e prova simples de que é não viesada
- Definição:
onde são as observações da amostra. - Propriedade importante: a média amostral é um estimador não viesado da média populacional
. Ou seja, - Por que isso é verdade? Raciocínio passo-a-passo:
- Use a linearidade da esperança:
. - Se cada
tem média (mesma população), então .
- Use a linearidade da esperança:
- Conclusão prática: quando te pedem para justificar que
estima sem viés, basta mostrar essa conta.
Passo 6
Variância da média
— erro padrão e correções para população finita
- Erro padrão (variabilidade de
): a variância do estimador mede o quanto oscila entre amostras. Para amostragem com reposição (ou quando assumimos amostras independentes), temos onde é a variância populacional. - Se a amostra é retirada sem reposição (o caso clássico em populações finitas), as observações não são independentes e entra a correção por população finita (FPC):
A parte é o fator de correção e reduz a variância quando a amostra é uma fração significativa da população. - Erro padrão (desvio padrão do estimador): o erro padrão é a raiz quadrada da variância:
- Interpretação prática: quanto maior
, menor . Quando é muito maior que , , e a fórmula com e sem reposição ficam praticamente iguais.
Passo 7
Estimador da variância amostral
e por que usamos
(derivação curta)
- Definição do estimador amostral não viesado:
- Por que dividimos por
e não por ? Resposta passo-a-passo (intuição e conta): - Identidade algébrica:
- Tirando esperança:
- Agora,
e (no caso de amostragem com independência). - Substituindo:
. - Assim, dividindo por
obtemos esperança igual a , ou seja, : o estimador é não viesado.
- Identidade algébrica:
- Conclusão prática: se alguém te perguntar “por que
?”, mostre os passos 1–4 ou diga que o ajuste corrige o viés causado pelo uso de em vez de .
Passo 8
Noção de viés, erro padrão e MSE — como responder em prova
- Viés de um estimador
: Se é zero, dizemos que o estimador é não viesado. - Erro padrão (ou desvio padrão do estimador):
. - Erro quadrático médio (MSE):
Na prova, se pedirem comparar estimadores, verificar MSE é uma forma completa de julgar (combina variância e viés).
Passo 9
Exemplo numérico prático — passo a passo de contas que você pode fazer na prova sem calculadora (pequeno e didático)
Considere a amostra com observações:
.
Considere a amostra com
- Média amostral:
- Soma dos quadrados em relação à média:
- Variância amostral (não viesada):
- Erro padrão aproximado da média (assumindo que
estima ):
Interpretação simples: com essa amostra a estimativa da média é
e a incerteza (erro padrão) é cerca de
.
Passo 10
Tipos de amostragem (resumo rápido e quando aparecem em prova)
- Amostragem aleatória simples (SRS): cada conjunto de
elementos tem igual probabilidade. Fórmulas que vimos (variância , FPC) são usadas aqui. - Amostragem estratificada: dividir população em estratos homogêneos e amostrar dentro de cada estrato; reduz variância se estratos bem escolhidos.
- Aglomerados (cluster): população dividida em clusters heterogêneos, selecionam-se clusters inteiros; custo menor, variância pode ser maior.
- Sistemática: escolher cada k-ésimo elemento; fácil de aplicar, mas cuidado com padrões na população.
Dica de prova: identifique o tipo de amostragem primeiro — isso dita quais fórmulas usar (FPC, variância com/sem reposição, pesos em estratificada).