Teoria de Bandas em Semicondutores (2,0 pts)
Um semicondutor intrínseco tem um gap de energia ( E_{g} ) de 1,1 \mathrm{eV} a 300 K .
a. (a) Calcule a concentração de portadores intrínsecos \left(n_{i}\right) sabendo que a massa efetiva dos elétrons ( m_{e} ) é 0,26 m_{0} e a massa efetiva dos buracos ( m_{h} ) é 0,39 m_{0} (use N_{c} e N_{v} \propto (massa efetiva) { }^{(3 / 2)} ).
b. (b) Se o material for dopado com 10^{16} átomos doadores / \mathrm{cm}^{3}, qual será a concentração de elétrons a 300 K ?

Passo 1

O enunciado trata de um semicondutor intrínseco com gap de energia E_{g}=1,1\:\text{eV} a T=300\:\text{K}. As massas efetivas são m_{e}^{*}=0,26\,m_{0} e m_{h}^{*}=0,39\,m_{0}. Precisamos calcular a concentração de portadores intrínsecos n_{i} e, depois, a concentração de elétrons quando dopado com N_{D}=10^{16}\,\text{cm}^{-3}.

Passo 2

Para determinar n_{i} usamos as densidades de estados efetivas na banda de condução e na banda de valência:
N_{c} \;=\; 2\Biggl(\frac{2\pi\,m_{e}^{*}k_{B}T}{h^{2}}\Biggr)^{3/2},
N_{v} \;=\; 2\Biggl(\frac{2\pi\,m_{h}^{*}k_{B}T}{h^{2}}\Biggr)^{3/2}.
Aqui k_{B} é a constante de Boltzmann e h é a constante de Planck.

Passo 3

Substituindo m_{e}^{*}=0,26\,m_{0}, m_{h}^{*}=0,39\,m_{0}, T=300\:\text{K}, m_{0}=9{,}11\times10^{-31}\:\text{kg}, k_{B}=1{,}38\times10^{-23}\:\text{J/K} e h=6{,}626\times10^{-34}\:\text{J\cdots}, obtemos
N_{c}\approx3{,}3\times10^{18}\:\text{cm}^{-3}, \qquad N_{v}\approx6{,}1\times10^{18}\:\text{cm}^{-3}.

Passo 4

A concentração intrínseca satisfaz
n_{i} =\sqrt{N_{c}N_{v}}\;\exp\!\Bigl(-\frac{E_{g}}{2\,k_{B}T}\Bigr).
Como E_{g}/(2k_{B}T)=1{,}1/(2\cdot0{,}02585)\approx21{,}3 e \sqrt{N_{c}N_{v}}\approx4{,}5\times10^{18}\:\text{cm}^{-3}, segue
n_{i}\approx4{,}5\times10^{18}\;\exp(-21{,}3)\approx2{,}6\times10^{9}\:\text{cm}^{-3}.

Passo 5

Quando dopamos com N_{D}=10^{16}\:\text{cm}^{-3} e N_{D}\gg n_{i}, a concentração de elétrons em equilíbrio de massa de cargas é praticamente
n\approx N_{D}=10^{16}\:\text{cm}^{-3}.

Resposta

n_{i}\approx2{,}6\times10^{9}\:\text{cm}^{-3} n\approx10^{16}\:\text{cm}^{-3}

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