Propriedades Térmicas (2,0 pts)
O cobre tem uma temperatura de Debye \left(\theta_{D}\right) de 343 K .
a. (a) Estime a velocidade do som (fônon acústico) no cobre, sabendo que a distância interatômica é \approx 0,256 \mathrm{~nm}.
b. (b) Calcule a capacidade térmica molar a 50 K usando a aproximação de Debye ( C_{V} \propto T^{3} em T \ll \theta_{D} ).

Passo 1

O enunciado dá a temperatura de Debye do cobre \theta_{D}=343\\ \mathrm{K} e pede:
a) estimar a velocidade do som (modo acústico) sabendo que a distância interatômica é a\approx0,256\\ \mathrm{nm};
b) calcular a capacidade térmica molar a T=50\\ \mathrm{K} usando a lei de Debye em baixas temperaturas, \,C_{V}\propto T^{3} para T\ll\theta_{D}.
Conteúdos necessários: relação \,k_{B}\theta_{D}=\hbar\omega_{D} e \omega_{D}=v_{s}k_{D}, com k_{D} da rede, e a fórmula do calor específico molar no limite T\ll\theta_{D}.

Passo 2

Para a velocidade do som fazemos
k_{B}\theta_{D}=\hbar\omega_{D} \quad\text{e}\quad \omega_{D}=v_{s}\,k_{D}.
Logo
v_{s}=\frac{\omega_{D}}{k_{D}} =\frac{k_{B}\,\theta_{D}}{\hbar\,k_{D}}.
Em uma aproximação simples tomamos
k_{D}\approx\frac{\pi}{a}.

Passo 3

Substituindo k_{B}=1{,}38\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}, \hbar=1{,}05\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}, \theta_{D}=343\\ \mathrm{K} e a=0{,}256\times10^{-9}\\ \mathrm{m},
v_{s} =\frac{1{,}38\times10^{-23}\times343}{1{,}05\times10^{-34}\,\bigl(\pi/0{,}256\times10^{-9}\bigr)} \approx3{,}7\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Para T\ll\theta_{D} a capacidade calorífica molar de Debye é
C_{V} =\frac{12\pi^{4}}{5}\,R\biggl(\frac{T}{\theta_{D}}\biggr)^{3},
onde R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.

Passo 5

Em T=50\\ \mathrm{K} e \theta_{D}=343\\ \mathrm{K},
C_{V} =\frac{12\pi^{4}}{5}\times8{,}314\times\biggl(\frac{50}{343}\biggr)^{3}.

Passo 6

Numéricamente:
\frac{12\pi^{4}}{5}\approx233{,}78,
\bigl(50/343\bigr)^{3}\approx0{,}00310,
então
C_{V}\approx233{,}78\times8{,}314\times0{,}00310 \approx6{,}0\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.

Resposta

a) v_{s}\approx3{,}7\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
b) C_{V}(50\\ \mathrm{K})\approx6{,}0\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.

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