Estrutura Cristalina e Difração (2,0 pts)
Um material cristalino possui estrutura CFC (cúbica de faces centradas) com parâmetro de rede a=0,361 \mathrm{~nm}.
a. (a) Calcule a distância interplanar (d) entre os planos (111).
b. (b) Se um feixe de raios \mathrm{X} \operatorname{com} \lambda=0,154 \mathrm{~nm} incide sobre o material, qual será o ângulo de difração (2 \theta ) para o pico correspondente aos planos (111)?

Passo 1

O enunciado dá um cristal cúbico de faces centradas (CFC) com parâmetro de rede a=0,361\mathrm{~nm}. Pede (a) a distância interplanar d dos planos (111) e (b) o ângulo de difração 2\theta para radiação de raios X com \lambda=0,154\mathrm{~nm}. Vamos usar a fórmula de espaçamento interplanar em cúbica e a Lei de Bragg.

Passo 2

Em rede cúbica geral, a distância entre planos (hkl) é dada por
d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}.

Passo 3

Para os planos (111) temos h=k=l=1, logo
d_{111} = \frac{0,361\mathrm{~nm}}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{0,361\mathrm{~nm}}{\sqrt{3}} \approx 0,2085\mathrm{~nm}.

Passo 4

A Lei de Bragg para ordem n=1 é
2\,d_{111}\,\sin\theta = \lambda.
Desse modo
\sin\theta = \frac{\lambda}{2\,d_{111}} = \frac{0,154\mathrm{~nm}}{2\times0,2085\mathrm{~nm}} \approx 0,3692,
e
\theta = \arcsin(0,3692)\approx21,7^\circ.

Passo 5

O ângulo de difração medido é 2\theta, portanto
2\theta = 2\times21,7^\circ \approx43,4^\circ.

Resposta

d_{111} \approx0,209\mathrm{~nm}.
2\theta \approx43,4^\circ.

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