Na teoria de Born para o átomo de hidrogênio, um elétron move-se em torno de um próton em uma órbita circular, cujo raio é aproximadamente 0,53 \times 10^{-10} m. (a) determine a força elétrica entre o próton e o elétron; (b) se essa força causa a aceleração centrípeta do elétron, determine a sua velocidade. (c) Calcule a força gravitacional entre o próton e o elétron e compare com o resultado obtido no item ( \mathbf{a} ). dados: e=1,6 \times 10^{-19} \mathrm{C}; m_{e}=9,1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}; m_{p}=1,67 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}.

Passo 1

O enunciado fala da órbita circular do elétron no átomo de hidrogênio segundo o modelo de Bohr, com raio aproximado r = 0{,}53 \times 10^{-10}\,\text{m}. Precisamos:
– usar a lei de Coulomb para achar a força elétrica \!F_e;
– igualar F_e à força centrípeta m_e v^2/r para obter a velocidade v;
– usar a lei da gravitação universal para calcular a força gravitacional \!F_g e comparar com \!F_e.

Passo 2

A força elétrica de atração entre próton e elétron é dada por
F_e = k\,\frac{e^2}{r^2},
com k = 9{,}0\times10^9\,\text{N\cdotm}^2/\text{C}^2, e = 1{,}6\times10^{-19}\,\text{C} e r = 0{,}53\times10^{-10}\,\text{m}. Calculando,
F_e = 9{,}0\times10^9 \times \frac{(1{,}6\times10^{-19})^2}{(0{,}53\times10^{-10})^2} \approx 8{,}2\times10^{-8}\,\text{N}.

Passo 3

Igualando F_e à força centrípeta m_e v^2/r, ou seja
m_e\,\frac{v^2}{r} = F_e,
onde m_e = 9{,}1\times10^{-31}\,\text{kg}. Isolando v,
v = \sqrt{\frac{F_e\,r}{m_e}} = \sqrt{\frac{8{,}2\times10^{-8}\times0{,}53\times10^{-10}}{9{,}1\times10^{-31}}} \approx 2{,}2\times10^6\,\text{m/s}.

Passo 4

A força gravitacional entre as massas é
F_g = G\,\frac{m_p\,m_e}{r^2},
com G = 6{,}67\times10^{-11}\,\text{N\cdotm}^2/\text{kg}^2, m_p = 1{,}67\times10^{-27}\,\text{kg}. Calculando,
F_g = 6{,}67\times10^{-11}\times\frac{1{,}67\times10^{-27}\times9{,}1\times10^{-31}}{(0{,}53\times10^{-10})^2} \approx 3{,}6\times10^{-47}\,\text{N}.
A razão entre as forças é
\frac{F_g}{F_e}\approx \frac{3{,}6\times10^{-47}}{8{,}2\times10^{-8}} \approx 4{,}4\times10^{-40},
ou seja, a força gravitacional é cerca de 10^{40} vezes menor que a elétrica.

Resposta

(a) F_e \approx 8{,}2\times10^{-8}\,\text{N}.
(b) v \approx 2{,}2\times10^6\,\text{m/s}.
(c) F_g \approx 3{,}6\times10^{-47}\,\text{N}, sendo cerca de 10^{40} vezes menor que F_e.

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