Da teoria eletromagnética de Maxwell, é possível mostrar que a pressão de um campo de radiação isotrópico é igual a da densidade de energia: , em que é o volume da cavidade. Usando as leis da termodinâmica e uma das relações de Maxwell mostre que
Obtenha a lei de Stefan a partir da equação acima.
Passo 1
O enunciado diz que, para radiação eletromagnética isotrópica dentro de uma cavidade de volume , vale
onde é a densidade de energia. Queremos usar a 1.ª lei da termodinâmica
e a relação de Maxwell
para mostrar que
e daí obter a lei de Stefan–Boltzmann.
Passo 2
Escrevo . Logo
Por outro lado, usando a 1.ª lei e a relação de Maxwell tenho
Substituindo em obtém-se
Agrupando os coeficientes de e de surge um sistema
]
Passo 3
Da segunda linha e usando p=tfrac13u e partial p/partial T=(1/3),du/dT temos
Como a lei de Stefan–Boltzmann diz que o fluxo radiado por área é j=sigma T^4, basta relacionar sigma à constante C usando a teoria do corpo negro (por exemplo j=tfracc4,u).