Da teoria eletromagnética de Maxwell, é possível mostrar que a pressão de um campo de radiação isotrópico é igual a 1 / 3 da densidade de energia: p=13 u(T)=U(T)3 V, em que V é o volume da cavidade. Usando as leis da termodinâmica e uma das relações de Maxwell mostre que
u=13 T d ud T-13 u
Obtenha a lei de Stefan a partir da equação acima.

Passo 1

O enunciado diz que, para radiação eletromagnética isotrópica dentro de uma cavidade de volume V, vale
p = tfrac13,u(T),
onde u(T)=U(T)/V é a densidade de energia. Queremos usar a 1.ª lei da termodinâmica
dU = T,dS ;-; p,dV
e a relação de Maxwell
l(partial Spartial Vr)T ;=; l(partial ppartial Tr)V
para mostrar que
u ;=; tfrac13,T,dudT;-;tfrac13,u
e daí obter a lei de Stefan–Boltzmann.

Passo 2

Escrevo U(T,V)=u(T),V. Logo
dU = V,dudT,dT ;+; u,dV
Por outro lado, usando a 1.ª lei e a relação de Maxwell tenho
dS = l(partial Spartial Tr)VdT + l(partial Spartial Vr)TdV = l(partial Spartial Tr)VdT + l(partial ppartial Tr)VdV
Substituindo em dU = T,dS - p,dV obtém-se
V,dudT,dT + u,dV = Tl(partial Spartial Tr)VdT + Tl(partial ppartial Tr)VdV - p,dV
Agrupando os coeficientes de dT e de dV surge um sistema
V,dfracdudT = Tl(dfracpartial Spartial Tr)V,[6pt] u = Tl(dfracpartial ppartial Tr)V ;-; p ]

Passo 3

Da segunda linha e usando p=tfrac13u e partial p/partial T=(1/3),du/dT temos
u = T;13,dudT;-;13,u,
que é exatamente a relação pedida.

Passo 4

Reescrevendo
u = 13,T,dudT - 13,u Longrightarrow 4,u = T,dudT Longrightarrow duu = 4,dTT
Integro dos dois lados:
ln u = 4,ln T + ln C Longrightarrow u(T) = C,T^4,
onde C é constante de integração.

Passo 5

A densidade de energia segue
u(T)=C,T^4
Como a lei de Stefan–Boltzmann diz que o fluxo radiado por área é j=sigma T^4, basta relacionar sigma à constante C usando a teoria do corpo negro (por exemplo j=tfracc4,u).

Resposta

A equação diferencial leva a
u(T)=C,T^4,
que é a lei de Stefan–Boltzmann.

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