A equação de estado de um gás de Van der Waals é
(p+aV^2)(V-b)=R T
O gás passa por uma variação isotérmica de volume, indo de V1 a V2. Calcule a variação da energia livre de Helmholtz. Calcule a variação de energia interna do gás.

Passo 1

No enunciado temos um gás de Van der Waals cuja equação de estado é
l(p + aV^2r)(V - b) = R,T
O processo é isotérmico, de V1 até V2. Precisamos de De<a A, variação da energia livre de Helmholtz, e de De<a U, variação da energia interna. Vamos usar
  1. para De<a A: a relação diferencial a T constante
dA = -p,dV,
  1. para De<a U: a forma geral
dU = CV,dT + l[Tl(partial p/partial Tr)V - pr],dV

Passo 2

Em um processo isotérmico reversível ( dT=0) temos
De<a A = -integralV1^V2p(V),dV

Passo 3

Substituindo a pressão de Van der Waals
p = R,TV - b - aV^2,
obtém-se
De<a A = -integralV1^V2l(R,TV - b - aV^2r)dV = -R,TintegralV1^V2dVV - b + aintegralV1^V2dVV^2

Passo 4

Calculando as integrais:
integralV1^V2dVV - b = lnV2 - bV1 - b, integralV1^V2dVV^2 = -1V2 + 1V1
Logo
De<a A = -R,TlnV2 - bV1 - b + al(1V1 - 1V2r)

Passo 5

Para a energia interna, usamos
dU = CV,dT + l[T(partial p/partial T)V - pr]dV
No caso Van der Waals
partial ppartial T|V = RV - b ;Longrightarrow; Tpartial ppartial T - p = R,TV - b - l(R,TV - b - aV^2r) = aV^2
Como dT=0, fica
dU = aV^2,dV

Passo 6

Integrando de V1 até V2:
De<a U = integralV1^V2aV^2,dV = al(-1V2 + 1V1r) = al(1V1 - 1V2r)

Resposta

De<a A = -R,TlnV2 - bV1 - b + al(1V1 - 1V2r),
De<a U = al(1V1 - 1V2r)

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