Teoria e exemplos
40. Assuma que 
 . Encontre 
 .
40. Assuma que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar as derivadas parciais de 
  em relação a 
  e 
 , onde 
 . O conteúdo aqui envolve derivadas parciais e a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivar 
  em relação a 
  e 
 , usando as derivadas parciais de 
  fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções internas dentro de 
 . Temos:
Então, podemos escrever 
 .
Passo 3
Para encontrar 
  e 
 , vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia nos diz que a derivada de 
  em relação a uma variável depende das derivadas de 
  em relação a 
  e 
 , multiplicadas pelas derivadas de 
  e 
  em relação a essa variável.
Passo 4
Vamos calcular 
 . Aplicando a regra da cadeia:
Agora, vamos identificar cada termo:
Passo 5
Sabemos que 
  e 
  porque 
  e 
  correspondem às variáveis 
  e 
  na função 
 . Então, substituindo:
Aqui, 
  e 
 .
Passo 6
Substituindo 
  e 
  nas derivadas parciais de 
 :
Passo 7
Agora, voltando à expressão para 
 :
Simplificando cada termo:
Passo 8
Agora, vamos calcular 
  usando a mesma abordagem:
Calculando as derivadas:
Passo 9
Substituindo 
  e 
  nas derivadas parciais de 
  novamente:
Passo 10
Voltando à expressão para 
 :
Simplificando cada termo:
Resposta
As derivadas parciais são: