Teoria e exemplos
40. Assuma que
. Encontre
.
40. Assuma que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, onde
. O conteúdo aqui envolve derivadas parciais e a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivar
em relação a
e
, usando as derivadas parciais de
fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções internas dentro de
. Temos:
Então, podemos escrever
.
Passo 3
Para encontrar
e
, vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia nos diz que a derivada de
em relação a uma variável depende das derivadas de
em relação a
e
, multiplicadas pelas derivadas de
e
em relação a essa variável.
Passo 4
Vamos calcular
. Aplicando a regra da cadeia:
Agora, vamos identificar cada termo:
Passo 5
Sabemos que
e
porque
e
correspondem às variáveis
e
na função
. Então, substituindo:
Aqui,
e
.
Passo 6
Substituindo
e
nas derivadas parciais de
:
Passo 7
Agora, voltando à expressão para
:
Simplificando cada termo:
Passo 8
Agora, vamos calcular
usando a mesma abordagem:
Calculando as derivadas:
Passo 9
Substituindo
e
nas derivadas parciais de
novamente:
Passo 10
Voltando à expressão para
:
Simplificando cada termo:
Resposta
As derivadas parciais são: