Teoria e exemplos
40. Assuma que w=f(t s^2, st), partial fpartial x(x, y)=x y e partial fpartial y(x, y)=x^22. Encontre partial wpartial t e partial wpartial s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a e , onde . O conteúdo aqui envolve derivadas parciais e a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivar em relação a e , usando as derivadas parciais de fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções internas dentro de . Temos:
Então, podemos escrever .

Passo 3

Para encontrar e , vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia nos diz que a derivada de em relação a uma variável depende das derivadas de em relação a e , multiplicadas pelas derivadas de e em relação a essa variável.

Passo 4

Vamos calcular partial wpartial t = partial fpartial u cdot partial upartial t + partial fpartial v cdot partial vpartial t . Aplicando a regra da cadeia:
Agora, vamos identificar cada termo:

Passo 5

Sabemos que partial fpartial u = x y e e partial fpartial v = x^22 e porque e correspondem às variáveis e na função . Então, substituindo:
Aqui, e .

Passo 6

Substituindo partial fpartial u = (t s^2) ( st ) e = s^3 e e partial fpartial v = (t s^2)^22 = t^2 s^42 nas derivadas parciais de :

Passo 7

Agora, voltando à expressão para partial wpartial t = s^3 e cdot s^2 + t^2 s^42 cdot ( -st^2 ) :
= s^5 e - s^52
Simplificando cada termo:

Passo 8

Agora, vamos calcular partial wpartial s = partial fpartial u cdot partial upartial s + partial fpartial v cdot partial vpartial s usando a mesma abordagem:
Calculando as derivadas:

Passo 9

Substituindo partial fpartial u = s^3 e e partial fpartial v = t^2 s^42 nas derivadas parciais de novamente:

Passo 10

Voltando à expressão para partial wpartial s = s^3 e cdot 2 t s + t^2 s^42 cdot 1t :
= 2 t s^4 e + t s^42
Simplificando cada termo:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial wpartial t = s^5 e - s^52
partial wpartial s = 2 t s^4 e + t s^42

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