Na teoria quântica de fotoionização, encontramos a identidade
(i a-1i a+1)^i b=exp (-2 b arccotg a),
na qual a e b são reais. Verifique essa identidade.

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos a identidade da teoria quântica de fotoionização
(i,a-1i,a+1)^i,b = expl(-2,b,arccotgar),
onde a e b são reais. O conteúdo principal aqui é escrever o quociente
z = i,a-1i,a+1
em forma polar z = e^itheta e depois usar a definição de potência complexa z^i,b = expl(i,bln zr).

Passo 2

Mostramos que o módulo de z vale 1. Note que
|i,a - 1| = raiza^2 + 1 e |i,a + 1| = raiza^2 + 1,
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|z| = |i,a - 1||i,a + 1| = 1
Isso implica que podemos escrever z = e^itheta para algum ângulo real theta.

Passo 3

Determinamos theta = arg(i,a - 1) - arg(i,a + 1). Tomando a forma cartesiana:
i,a - 1 = -1 + i,a, i,a + 1 = 1 + i,a
Seja phi = arctan(a). Então
arg(i,a + 1) = phi,
e
arg(i,a - 1) = pi + arctan!l(tfraca-1r) = pi - arctan(a) = pi - phi

Passo 4

Concluímos que
Como e em trigonometria , temos
Portanto

Passo 5

Usando a definição de potência complexa no ramo principal do logaritmo,
z^i,b = expl(i,b,ln zr) = expl(i,b,(2,i,arccotga)r) = expl(-2,b,arccotgar)
Isso coincide exatamente com o lado direito da identidade.

Resposta

A identidade foi verificada.

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