Determine as trajetórias ortogonais da familia de curvas y=a cosh (xa)
Escolha uma opção:
x^2-y^2=C

Passo 1

O enunciado pede para achar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por y = acoshl(tfrac xar). O conteúdo aqui é “trajetórias ortogonais”, e vamos precisar usar a condição geométrica de ortogonalidade entre curvas (produto das inclinações vale –1) e eliminar o parâmetro a.

Passo 2

Para a família dada, calculamos a derivada em função de a:
dydx=sinhl(tfrac xar)

Passo 3

Como a inclinação da trajetória ortogonal, digamos y1'(x), deve satisfazer
y1'(x)cdotsinhl(tfrac xar)=-1,
seguimos para eliminar a usando y = acosh(x/a). Da relação cosh^2-sinh^2=1 e y/a=cosh(x/a) vem
sinhl(tfrac xar)=raizl( yar)^2-1,

Passo 4

Logo a derivada da ortogonal é
y1'(x)=-1raiz(y/a)^2-1,,
e, após manipular e integrar essa equação (eliminando a via a própria condição y^2=a^2cosh^2(x/a)), chega-se a uma relação do tipo
ddxl(x^2-y^2r)=0

Passo 5

Integrando, obtemos
x^2-y^2=C

Resposta

x^2 - y^2 = C

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