A terceira lei de Kepler, também chamada de lei dos períodos, diz que os quadrados dos períodos (T) de revolução de dois planetas quaisquer estão entre si como os cubos de suas distâncias médias ( ) ao Sol, e pode ser resumida na relação
onde é a constante universal da gravitação e é a massa do Sol. Os valores de e para os cinco primeiros planetas do sistema solar estão colocados na tabela a seguir.
Mercúrio
Vênus
Terra
Marte
Júpiter
a) Linearize a equação tomando como variável independente .
b) Utilizando as equações dos mínimos quadrados, trace a melhor reta que representa os dados da equação linearizada, juntamente com os pontos experimentais.
c) Determine o valor da massa do Sol a partir dos valores obtidos no item (b).
Passo 1
O enunciado apresenta a terceira lei de Kepler
onde é o período de revolução, a distância média ao Sol, a constante gravitacional e a massa do Sol.
Conteúdo: linearização de potência e ajuste por mínimos quadrados.
Objetivo do exercício:
linearizar usando como variável independente;
obter a reta pelos mínimos quadrados e plotar junto aos pontos;
extrair em função do coeficiente angular .
Passo 2
Para linearizar tomamos
Então da lei de Kepler
Em princípio b=0, mas ao ajustar dados experimentais permitimos bneq0.
Passo 3
Calculamos para cada planeta
Xi = Ri^3/2, Yi = Ti,
usando os valores da tabela. Os resultados aproximados são
m = nsum XiYi - sum Xi,sum Yinsum Xi^2 - (sum Xi)^2, b = sum Yi - m,sum Xin,
com n=5.
Passo 5
Calculando as somas
sum Xi approx 9,02times10^17, sum Yi approx 4,9333times10^8,
sum XiYi approx 2,7007times10^26, sum Xi^2 approx 4,8695times10^35,
obtemos
m approx 5,(2,7007times10^26) - (9,02times10^17)(4,9333times10^8) 5,(4,8695times10^35) - (9,02times10^17)^2 approx 5,59times10^-10,sm^3/2,
b approx 4,9333times10^8 - (5,59times10^-10)(9,02times10^17)5 approx -2,11times10^6,s
Logo a reta ajustada é
T approx l(5,59times10^-10r),R^3/2 ;-; 2,11times10^6
Passo 6
O gráfico de T versus R^3/2 mostra os cinco pontos experimentais e a reta ajustada acima, evidenciando boa correlação e intercepto próximo de zero, em concordância com a teoria.
Passo 7
Da teoria temos k=raiz4pi^2/(G,M)approx m. Então
M = 4pi^2G,m^2
Substituindo G=6,67times10^-11,kg^-1m^3s^-2 e m=5,59times10^-10,
M approx 4pi^2(6,67times10^-11),(5,59times10^-10)^2 approx 1,90times10^30,kg