Questão 9: Tendo como base a seção 4.4 do Vol. 3 do livro Física Básica de Moysés Nussenzveig que trata sobre dipolos elétricos:
Obtenha o potencial de dupla camada;

Passo 1

O enunciado pede o potencial de uma dupla camada, ou seja, de uma distribuição superficial de dipolos. O conteúdo principal é usar a expressão do potencial de um dipolo pontual e depois integrar sobre a superfície que carrega densidade de dipolo por unidade de área. Vamos precisar da forma do potencial de um dipolo pontual e da definição de derivada normal na fonte.

Passo 2

Considere um dipolo pontual de momento p localizado em r'. Partindo de duas cargas pm q separadas por um pequeno vetor d tal que q,d=p, o potencial em r é
phi(r) = 14pivarepsilon0l[q|r-r'-tfrac12d| -q|r-r'+tfrac12d|r]
Fazendo expansão até ordem linear em d obtém-se
phi(r) =14pivarepsilon0;pcdotnabla'l(1|r-r'|r)

Passo 3

Agora suponha que sobre a superfície S haja uma densidade de dipolos por unidade de área mu(r'), cada dipolo apontando na direção da normal unitária n'. Então o elemento de dipolo é
p=mu(r'),n',dS'. Somando (integrando) todos os dipolos da superfície, o potencial resultante em r é
phi(r) =14pivarepsilon0 integralSmu(r'),n'!cdot!nabla'l(1|r-r'|r),dS'

Passo 4

Reconhecendo que a derivada direcional na normal da fonte é
n'!cdot!nabla'= partialpartial n', chegamos à forma final do potencial de dupla camada.

Resposta

boxed phi(r) =14pivarepsilon0 integralSmu(r'), partialpartial n'!l(1|r-r'|r) ,dS'

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