Considere a função
f(x)=x^{3}+2 x-5 .
(a) Mostre que f é contínua em [1,2].
(b) Calcule f(1) e f(2).
(c) Conclua, usando o Teorema do Valor Intermediário, que existe pelo menos uma raiz de f(x)=0 no intervalo (1,2).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x^{3}+2x-5.
As perguntas são:
(a) Mostrar que f é contínua em [1,2].
(b) Calcular f(1) e f(2).
(c) Usando o Teorema do Valor Intermediário, concluir que existe pelo menos uma raiz de f(x)=0 no intervalo (1,2).

Passo 2

O que significa "contínua em [1,2]"? Vou explicar devagarinho.
Definição de continuidade num ponto: uma função g é contínua num ponto a se
\lim_{x\to a} g(x)=g(a).
Isto significa que, quando x se aproxima de a, os valores de g(x) se aproximam do valor g(a). Para uma função ser contínua num intervalo fechado [1,2] basta que seja contínua em cada ponto desse intervalo (nos pontos interiores usamos limites bilaterais; nos extremos usamos limites unilaterais apropriados; no caso de polinômios tudo isso é automático).
Fatos básicos (úteis e que costumam ser aceitos em provas):
  • A função identidade h(x)=x é contínua em todo lugar porque \lim_{x\to a} x=a=h(a).
  • Se h é contínua, então x\mapsto x^{n} é contínua (produto de funções contínuas repetidas vezes).
  • Constantes são contínuas.
  • Soma, produto e combinação linear de funções contínuas são contínuas (por leis de limite).
A função f(x)=x^{3}+2x-5 é formada por potências de x, pela multiplicação por constante e por soma/subtração. Cada uma dessas operações preserva continuidade. Portanto f é contínua em todo \mathbb{R}, e em particular é contínua em [1,2].
(Em palavras mais amigáveis: polinômios são funções “boazinhas” — sem buracos nem saltos — logo são contínuos em qualquer intervalo.)

Passo 3

Conclusão formal da parte (a): como f é um polinômio, é contínua em todo \mathbb{R}; logo é contínua em [1,2].

Passo 4

Agora calculamos f(1). Substituindo x=1 em f(x):
f(1)=1^{3}+2\cdot1-5=1+2-5=-2.

Passo 5

Calculamos f(2). Substituindo x=2:
f(2)=2^{3}+2\cdot2-5=8+4-5=7.

Passo 6

Enunciado do Teorema do Valor Intermediário (TVI), de forma direta: se uma função g é contínua em [a,b] e L é qualquer número entre g(a) e g(b), então existe c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=L.
Aplicando ao nosso caso: já mostramos que f é contínua em [1,2]. Observamos que
f(1)=-2<0<7=f(2),
ou seja, 0 é um número entre f(1) e f(2). Pelo Teorema do Valor Intermediário existe, portanto, pelo menos um c\in(1,2) tal que
f\text{(c)}=0.
Isso prova a existência de ao menos uma raiz de f(x)=0 no intervalo (1,2).

Resposta

(a) f é contínua em [1,2].
(b) f(1)=-2 \, e \, f(2)=7.
(c) Existe pelo menos uma raiz de f(x)=0 em (1,2).

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