Considere a função
(a) Mostre que
é contínua em
.
(b) Calcule
e
.
(c) Conclua, usando o Teorema do Valor Intermediário, que existe pelo menos uma raiz de
no intervalo
.
(b) Calcule
(c) Conclua, usando o Teorema do Valor Intermediário, que existe pelo menos uma raiz de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
As perguntas são:
(a) Mostrar que é contínua em
.
(b) Calcular e
.
(c) Usando o Teorema do Valor Intermediário, concluir que existe pelo menos uma raiz de no intervalo
.
(a) Mostrar que
(b) Calcular
(c) Usando o Teorema do Valor Intermediário, concluir que existe pelo menos uma raiz de
Passo 2
O que significa "contínua em
"? Vou explicar devagarinho.
Definição de continuidade num ponto: uma função
é contínua num ponto
se
Isto significa que, quando
se aproxima de
, os valores de
se aproximam do valor
. Para uma função ser contínua num intervalo fechado
basta que seja contínua em cada ponto desse intervalo (nos pontos interiores usamos limites bilaterais; nos extremos usamos limites unilaterais apropriados; no caso de polinômios tudo isso é automático).
Fatos básicos (úteis e que costumam ser aceitos em provas):
- A função identidade
é contínua em todo lugar porque . - Se
é contínua, então é contínua (produto de funções contínuas repetidas vezes). - Constantes são contínuas.
- Soma, produto e combinação linear de funções contínuas são contínuas (por leis de limite).
A função
é formada por potências de
, pela multiplicação por constante e por soma/subtração. Cada uma dessas operações preserva continuidade. Portanto
é contínua em todo
, e em particular é contínua em
.
(Em palavras mais amigáveis: polinômios são funções “boazinhas” — sem buracos nem saltos — logo são contínuos em qualquer intervalo.)
Passo 3
Conclusão formal da parte (a): como
é um polinômio, é contínua em todo
; logo é contínua em
.
Passo 4
Agora calculamos
. Substituindo
em
:
Passo 5
Calculamos
. Substituindo
:
Passo 6
Enunciado do Teorema do Valor Intermediário (TVI), de forma direta: se uma função
é contínua em
e
é qualquer número entre
e
, então existe
tal que
.
Aplicando ao nosso caso: já mostramos que
é contínua em
. Observamos que
ou seja,
é um número entre
e
. Pelo Teorema do Valor Intermediário existe, portanto, pelo menos um
tal que
Isso prova a existência de ao menos uma raiz de
no intervalo
.
Resposta
(a)
é contínua em
.
(b)
e
.
(c) Existe pelo menos uma raiz de em
.
(b)
(c) Existe pelo menos uma raiz de