Calcule a soma da série:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{5^{n}}+\frac{2}{n}\right);

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{3}{5^{n}}+\frac{2}{n}\Bigr).
O conteúdo envolve séries numéricas, em particular a série geométrica e a série harmônica. Vamos usar a linearidade das somas infinitas e o critério de convergência para cada parte.

Passo 2

Separamos a série em duas partes usando a propriedade
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(a_{n}+b_{n}\Bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}+\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}.
Aqui a_{n}=\frac{3}{5^{n}} e b_{n}=\frac{2}{n}.

Passo 3

Para a parte geométrica, temos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{5^{n}} =3\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{5}\Bigr)^{n}.
Como \bigl|\tfrac15\bigr|<1, essa série converge e sua soma é
3\cdot\frac{\tfrac15}{1-\tfrac15} =3\cdot\frac{1/5}{4/5} =3\cdot\frac{1}{4} =\frac{3}{4}.

Passo 4

Para a parte harmônica, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n} =2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é proporcional à série harmônica \sum1/n, que é conhecida por divergir (não converge a um valor finito).

Passo 5

Como uma das parcelas da soma diverge, a série total também diverge. Em outras palavras, não existe soma finita para
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\tfrac{3}{5^n}+\tfrac{2}{n}\bigr).

Resposta

A série diverge (não converge a um valor finito).

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