1. Em um termômetro clínico a grandeza termométrica é o comprimento C da coluna do mercúrio. Conhecemos as seguintes relações:
\begin{aligned} & \mathrm{C}_{1}=2,0 \mathrm{~cm} \leftrightarrow \theta_{1}=32^{\circ} \mathrm{C} \\\ & \mathrm{C}_{2}=15 \mathrm{~cm} \leftrightarrow \theta_{2}=45^{\circ} \mathrm{C} \end{aligned}
a) Estabeleça uma equação termométrica relacionando o comprimento C da coluna com a temperatura \theta.
b) Ao medir a temperatura de uma criança, o comprimento da coluna de mercúrio chegou a 10 cm . Qual era a temperatura da criança?

Passo 1

O enunciado dá duas leituras de calibração do termômetro (peguei esses números do enunciado):
  • C_1 = 2{,}0\\ \text{cm} corresponde a \theta_1 = 32^\circ\mathrm{C}.
  • C_2 = 15\\ \text{cm} corresponde a \theta_2 = 45^\circ\mathrm{C}.
O que o enunciado pede:
  • (a) Estabelecer uma equação termométrica que relacione o comprimento C da coluna com a temperatura \theta.
  • (b) Determinar a temperatura da criança quando se mediu C=10\\ \text{cm}.

Passo 2

Vamos assumir que a relação entre comprimento C e temperatura \theta é linear (isso é padrão para uma escala termométrica calibrada por dois pontos). A forma geral de uma relação linear entre C e \theta é:
C = a\,\theta + b,
onde:
  • a é a inclinação (quantos centímetros a coluna muda quando a temperatura muda de 1^\circ\mathrm{C});
  • b é o termo constante (o comprimento quando \theta=0^\circ\mathrm{C}, se o modelo for válido nessa extrapolação).
Nosso objetivo é achar a e b usando os dois pontos dados.

Passo 3

Escrevendo as duas equações usando os pontos de calibração:
\begin{cases} 2{,}0 = a\cdot 32 + b,\\[4pt] 15 = a\cdot 45 + b. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda eliminamos b e isolamos a.]

Passo 4

Calcular a pela diferença (interpretação: variação de C por variação de \theta):
a = \dfrac{C_2 - C_1}{\theta_2 - \theta_1} = \dfrac{15 - 2{,}0}{45 - 32} = \dfrac{13}{13} = 1.
Interpretação: a coluna aumenta 1{,}0\\ \text{cm} para cada 1^\circ\mathrm{C} de aumento de temperatura.

Passo 5

Agora encontramos b usando um dos pontos (uso o ponto 1):
b = C_1 - a\theta_1 = 2{,}0 - 1\cdot 32 = 2{,}0 - 32 = -30.
Logo a equação linear é
C = 1\cdot\theta - 30,
ou, de forma mais simples,
C = \theta - 30\quad(\text{com }C\text{ em cm e }\theta\text{ em }^\circ\mathrm{C}).
Também é útil a forma invertida para calcular \theta a partir de C:
\theta = C + 30.

Passo 6

Agora aplicamos isso ao caso prático (parte b). Se C=10\\ \text{cm}, então
\theta = C + 30 = 10 + 30 = 40.
Portanto a temperatura medida é \theta=40^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Verificação rápida com os pontos de calibração para garantir consistência:
  • Para \theta=32^\circ\mathrm{C}: C=32-30=2\\ \text{cm} (confere).
  • Para \theta=45^\circ\mathrm{C}: C=45-30=15\\ \text{cm} (confere).
    Tudo está consistente com os dados.

Resposta

(a) C=\theta-30\\ \text{cm}
(b) \theta=40^\circ\mathrm{C}

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