- Em um termômetro clínico a grandeza termométrica é o comprimento
da coluna do mercúrio. Conhecemos as seguintes relações:
a) Estabeleça uma equação termométrica relacionando o comprimento
da coluna com a temperatura
.
b) Ao medir a temperatura de uma criança, o comprimento da coluna de mercúrio chegou a 10 cm . Qual era a temperatura da criança?
b) Ao medir a temperatura de uma criança, o comprimento da coluna de mercúrio chegou a 10 cm . Qual era a temperatura da criança?
Passo 1
O enunciado dá duas leituras de calibração do termômetro (peguei esses números do enunciado):
-
corresponde a . -
corresponde a .
O que o enunciado pede:
- (a) Estabelecer uma equação termométrica que relacione o comprimento
da coluna com a temperatura . - (b) Determinar a temperatura da criança quando se mediu
.
Passo 2
Vamos assumir que a relação entre comprimento
e temperatura
é linear (isso é padrão para uma escala termométrica calibrada por dois pontos). A forma geral de uma relação linear entre
e
é:
onde:
-
é a inclinação (quantos centímetros a coluna muda quando a temperatura muda de ); -
é o termo constante (o comprimento quando , se o modelo for válido nessa extrapolação).
Nosso objetivo é achar
e
usando os dois pontos dados.
Passo 3
Escrevendo as duas equações usando os pontos de calibração:
Subtraindo a primeira equação da segunda eliminamos
e isolamos
.]
Passo 4
Calcular
pela diferença (interpretação: variação de
por variação de
):
Interpretação: a coluna aumenta
para cada
de aumento de temperatura.
Passo 5
Agora encontramos
usando um dos pontos (uso o ponto 1):
Logo a equação linear é
ou, de forma mais simples,
Também é útil a forma invertida para calcular
a partir de
:
Passo 6
Agora aplicamos isso ao caso prático (parte b). Se
, então
Portanto a temperatura medida é
.
Passo 7
Verificação rápida com os pontos de calibração para garantir consistência:
- Para
: (confere). - Para
: (confere).
Tudo está consistente com os dados.
Resposta
(a)
(b)
(b)