Um termômetro de massa 55 g e calor específico 0,2 \mathrm{kcal} / \mathrm{kg}{ }^{\circ} \mathrm{C} marca 15^{\circ} \mathrm{C}. O termômetro é mergulhado em 300 gramas de água e, após atingir o equilíbrio térmico, ele marca 44,4^{\circ} \mathrm{C}. Calcular a temperatura da água antes da imersão do termômetro, desprezando outras possíveis perdas de calor.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a temperatura inicial da água antes da imersão do termômetro.
  • Massa do termômetro: 55\\ \mathrm{g} = 0,055\\ \mathrm{kg}.
  • Calor específico do termômetro: c_{\text{term}} = 0,2\\ \mathrm{kcal}\,/\,\mathrm{kg}\,^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura inicial do termômetro: T_{\text{term,i}} = 15^\circ\mathrm{C}.
  • Massa da água: 300\\ \mathrm{g} = 0,3\\ \mathrm{kg}.
  • Calor específico da água: c_{\text{água}} = 1\\ \mathrm{kcal}\,/\,\mathrm{kg}\,^\circ\mathrm{C}á (valor padrão).
  • Temperatura de equilíbrio (após contato): T_f = 44,4^\circ\mathrm{C}.
O que se pede: calcular a temperatura inicial da água T_{\text{água,i}}á antes de mergulhar o termômetro, desprezando perdas para o ambiente.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática): quando dois corpos trocam calor isoladamente, a energia cedida por um é igual à energia recebida pelo outro. A quantidade de calor absorvida ou cedida por um corpo é dada por
Q = m\,c\,\Delta T,
onde:
  • Q é a quantidade de calor (em \mathrm{kcal} se c estiver em \mathrm{kcal}\,/\,\mathrm{kg}\,^\circ\mathrm{C}),
  • m é a massa (em \mathrm{kg}),
  • c é o calor específico (em \mathrm{kcal}\,/\,\mathrm{kg}\,^\circ\mathrm{C}),
  • \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}), calculada como T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}.
Explicando em palavras: se a água estiver mais quente, ela perde calor ( Q<0 se escrever \Delta T como T_f-T_{\text{água,i}}á), e o termômetro ganha esse calor até atingir T_f.

Passo 3

Escrever a equação de balanço de energia (sem sinais confusos): o calor ganho pelo termômetro é igual ao calor perdido pela água. Em módulo,
m_{\text{água}}\,c_{\text{água}}\,(T_{\text{água,i}}-T_f) = m_{\text{term}}\,c_{\text{term}}\,(T_f-T_{\text{term,i}}).ááá
Aqui cada parêntese é uma variação de temperatura positiva: a água desce de T_{\text{água,i}}á para T_f, e o termômetro sobe de T_{\text{term,i}} para T_f.

Passo 4

Isolar T_{\text{água,i}}á na equação:
T_{\text{água,i}} = T_f + \frac{m_{\text{term}}\,c_{\text{term}}\,(T_f-T_{\text{term,i}})}{m_{\text{água}}\,c_{\text{água}}}.ááá
Agora vamos substituir os valores, convertendo massas para \mathrm{kg} (já listadas no Passo 1).

Passo 5

Calcular a diferença de temperatura do termômetro:
T_f - T_{\text{term,i}} = 44,4^\circ\mathrm{C} - 15^\circ\mathrm{C} = 29,4^\circ\mathrm{C}.
Calcular primeiro m_{\text{term}}\,c_{\text{term}}:
0,055\\ \mathrm{kg}\times 0,2\\ \mathrm{kcal}\,/\,\mathrm{kg}\,^\circ\mathrm{C} = 0,011\\ \mathrm{kcal}\,/\,^\circ\mathrm{C}.
Multiplicando pela variação 29,4^\circ\mathrm{C}:
0,011\times 29,4 = 0,3234\\ \mathrm{kcal}.

Passo 6

Calcular o denominador m_{\text{água}}\,c_{\text{água}}áá:
0,3\\ \mathrm{kg}\times 1\\ \mathrm{kcal}\,/\,\mathrm{kg}\,^\circ\mathrm{C} = 0,3\\ \mathrm{kcal}\,/\,^\circ\mathrm{C}.
Agora a fração do termo de correção:
\frac{0,3234}{0,3} = 1,078\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Somar essa correção à temperatura de equilíbrio para obter a temperatura inicial da água:
T_{\text{água,i}} = 44,4^\circ\mathrm{C} + 1,078^\circ\mathrm{C} = 45,478^\circ\mathrm{C}.á
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais):
T_{\text{água,i}} \approx 45,48^\circ\mathrm{C}.á

Passo 8

Checagem rápida de sentido físico: a água inicial deve ser um pouco mais quente que a temperatura final porque ela cedeu calor ao termômetro. Obtivemos 45,48^\circ\mathrm{C}, que é pouco maior que 44,4^\circ\mathrm{C} — faz sentido.

Resposta

45,48^\circ\mathrm{C}

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