Um bastão de aço tem 3 cm de diâmetro a 25^{\circ} \mathrm{C}. Um anel de latão tem um diâmetro interno de 2,992 \mathrm{~cm} a 25^{\circ} \mathrm{C}. Em que temperatura será possível o anel encaixar no bastão? \left(\alpha_{\text {latão }}=1,9 \times 10^{-5}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)^{-1}\right.ã e \left.\alpha_{\text {aço }}=1,1 \times 10^{-5}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)^{-1}\right)ç

Passo 1

O enunciado pergunta em que temperatura o anel de latão conseguirá encaixar no bastão de aço. Informações dadas:
  • Diâmetro do bastão de aço a 25^\circ\mathrm{C}: D_{\text{aço},0}=3,000\\ \mathrm{cm}ç.
  • Diâmetro interno do anel de latão a 25^\circ\mathrm{C}: D_{\text{latão},0}=2,992\\ \mathrm{cm}ã.
  • Coeficiente de expansão linear do latão: \alpha_{\text{latão}}=1,9\times 10^{-5}\\ (^\circ\mathrm{C})^{-1}ã.
  • Coeficiente de expansão linear do aço: \alpha_{\text{aço}}=1,1\times 10^{-5}\\ (^\circ\mathrm{C})^{-1}ç.
  • Temperatura inicial de referência: T_0=25^\circ\mathrm{C}.
    Pergunta a responder: encontrar a temperatura T (em graus Celsius) tal que o anel passe a encaixar no bastão, isto é, tal que o diâmetro interno do anel seja pelo menos igual ao diâmetro do bastão.

Passo 2

Apresentar a fórmula da dilatação linear e explicar as variáveis.
A fórmula aproximada para dilatação linear de uma dimensão qualquer (como comprimento, raio ou diâmetro) é
L(T)=L_0\left(1+\alpha\,\Delta T\right),
onde:
  • L_0 é a dimensão à temperatura inicial T_0,
  • \alpha é o coeficiente de expansão linear do material (unidade (^\circ\mathrm{C})^{-1}),
  • \Delta T=T-T_0 é a variação de temperatura,
  • L(T) é a dimensão na nova temperatura T.
    Comentário didático: essa fórmula diz que toda dimensão linear cresce (ou diminui) aproximadamente proporcionalmente a \alpha e à variação de temperatura. Para pequenas variações e materiais isotrópicos, diâmetros e comprimentos obedecem à mesma lei.

Passo 3

Justificar por que podemos aplicar a mesma fórmula ao diâmetro interno do anel.
Explicação intuitiva: um anel metálico aquece e, por homogeneidade e isotropia da dilatação, todas as distâncias lineares na peça aumentam pelo mesmo fator (1+\alpha\Delta T). Assim, o diâmetro interno também aumenta pela mesma proporção que um comprimento qualquer do material. Portanto podemos escrever as expressões para os diâmetros a temperatura T:
D_{\text{aço}}(T)=D_{\text{aço},0}\left(1+\alpha_{\text{aço}}\Delta T\right),ççç
D_{\text{latão}}(T)=D_{\text{latão},0}\left(1+\alpha_{\text{latão}}\Delta T\right),ããã
com \Delta T=T-25^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Estabelecer a condição de encaixe e montar a equação a resolver.
O anel passa a encaixar quando o diâmetro interno do anel for maior ou igual ao diâmetro do bastão. Para achar a temperatura mínima em que isso ocorre, igualamos as duas expressões:
D_{\text{latão},0}\left(1+\alpha_{\text{latão}}\Delta T\right)=D_{\text{aço},0}\left(1+\alpha_{\text{aço}}\Delta T\right).ããçç

Passo 5

Substituir os valores numéricos na equação e desenvolver algebricamente.
Substituindo D_{\text{latão},0}=2,992ã, D_{\text{aço},0}=3,000ç, \alpha_{\text{latão}}=1,9\times 10^{-5}ã, \alpha_{\text{aço}}=1,1\times 10^{-5}ç (todos em unidades compatíveis: cm e (^\circ\mathrm{C})^{-1}), obtemos
2,992\left(1+1,9\times 10^{-5}\,\Delta T\right)=3,000\left(1+1,1\times 10^{-5}\,\Delta T\right).
Expandindo ambos os lados:
2,992 + 2,992\cdot 1,9\times 10^{-5}\,\Delta T = 3,000 + 3,000\cdot 1,1\times 10^{-5}\,\Delta T.
Calcular os coeficientes multiplicativos:
2,992\cdot 1,9\times 10^{-5}=0,000056848,
3,000\cdot 1,1\times 10^{-5}=0,000033000.
Substituindo esses valores:
2,992 + 0,000056848\,\Delta T = 3,000 + 0,000033000\,\Delta T.

Passo 6

Isolar \Delta T e resolver numericamente.
Passando os termos com \Delta T para um lado e os constantes para o outro:
0,000056848\,\Delta T - 0,000033000\,\Delta T = 3,000 - 2,992.
Somando e subtraindo:
0,000023848\,\Delta T = 0,008.
Logo
\Delta T=\frac{0,008}{0,000023848}\approx 335,5\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Obter a temperatura absoluta T e interpretar o resultado.
Como \Delta T=T-25^\circ\mathrm{C}, temos
T=25^\circ\mathrm{C}+\Delta T=25^\circ\mathrm{C}+335,5^\circ\mathrm{C}\approx 360,5^\circ\mathrm{C}.
Interpretação prática e incentivo: o valor é relativamente alto — precisa aquecer bastante o anel (e o bastão) para que o anel, cujo coeficiente de dilatação é maior, aumente o suficiente para passar no bastão. Mas a conta está feita passo a passo; você consegue fazer igual na prova!

Resposta

T\approx 360,5^\circ\mathrm{C}

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