Um bastão de aço tem 3 cm de diâmetro a
. Um anel de latão tem um diâmetro interno de
a
. Em que temperatura será possível o anel encaixar no bastão?
e
Passo 1
O enunciado pergunta em que temperatura o anel de latão conseguirá encaixar no bastão de aço. Informações dadas:
- Diâmetro do bastão de aço a
: . - Diâmetro interno do anel de latão a
: . - Coeficiente de expansão linear do latão:
. - Coeficiente de expansão linear do aço:
. - Temperatura inicial de referência:
.
Pergunta a responder: encontrar a temperatura(em graus Celsius) tal que o anel passe a encaixar no bastão, isto é, tal que o diâmetro interno do anel seja pelo menos igual ao diâmetro do bastão.
Passo 2
Apresentar a fórmula da dilatação linear e explicar as variáveis.
A fórmula aproximada para dilatação linear de uma dimensão qualquer (como comprimento, raio ou diâmetro) é
A fórmula aproximada para dilatação linear de uma dimensão qualquer (como comprimento, raio ou diâmetro) é
onde:
-
é a dimensão à temperatura inicial , -
é o coeficiente de expansão linear do material (unidade ), -
é a variação de temperatura, -
é a dimensão na nova temperatura .
Comentário didático: essa fórmula diz que toda dimensão linear cresce (ou diminui) aproximadamente proporcionalmente ae à variação de temperatura. Para pequenas variações e materiais isotrópicos, diâmetros e comprimentos obedecem à mesma lei.
Passo 3
Justificar por que podemos aplicar a mesma fórmula ao diâmetro interno do anel.
Explicação intuitiva: um anel metálico aquece e, por homogeneidade e isotropia da dilatação, todas as distâncias lineares na peça aumentam pelo mesmo fator . Assim, o diâmetro interno também aumenta pela mesma proporção que um comprimento qualquer do material. Portanto podemos escrever as expressões para os diâmetros a temperatura
:
Explicação intuitiva: um anel metálico aquece e, por homogeneidade e isotropia da dilatação, todas as distâncias lineares na peça aumentam pelo mesmo fator
com
.
Passo 4
Estabelecer a condição de encaixe e montar a equação a resolver.
O anel passa a encaixar quando o diâmetro interno do anel for maior ou igual ao diâmetro do bastão. Para achar a temperatura mínima em que isso ocorre, igualamos as duas expressões:
O anel passa a encaixar quando o diâmetro interno do anel for maior ou igual ao diâmetro do bastão. Para achar a temperatura mínima em que isso ocorre, igualamos as duas expressões:
Passo 5
Substituir os valores numéricos na equação e desenvolver algebricamente.
Substituindo ,
,
,
(todos em unidades compatíveis: cm e
), obtemos
Substituindo
Expandindo ambos os lados:
Calcular os coeficientes multiplicativos:
Substituindo esses valores:
Passo 6
Isolar
e resolver numericamente.
Passando os termos com para um lado e os constantes para o outro:
Passando os termos com
Somando e subtraindo:
Logo
Passo 7
Obter a temperatura absoluta
e interpretar o resultado.
Como , temos
Como
Interpretação prática e incentivo: o valor é relativamente alto — precisa aquecer bastante o anel (e o bastão) para que o anel, cujo coeficiente de dilatação é maior, aumente o suficiente para passar no bastão. Mas a conta está feita passo a passo; você consegue fazer igual na prova!