2-) Uma carga especificada \sigma(\theta) está colada sobre a superficie de uma casca esférica de raio R. (a) Encontre a forma geral do potencial dentro e fora da esfera, escrevendo as expressões para determinação das constantes que satisfaçam as condições de contorno em função de \sigma(\theta). (b) Considere \sigma=\sigma_{o} \cos ^{2}(\theta) e determine o potencial nas regiões citadas.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Uma casca esférica de raio R.
  • Uma densidade de carga superficial dependente de ângulo polar: \sigma(\theta) (colada sobre a superfície r=R).
    As perguntas:
    (a) Encontrar a forma geral do potencial elétrico \Phi(r,\theta) dentro ( r<R) e fora ( r>R) da esfera, escrevendo expressões que determinam as constantes em função de \sigma(\theta).
    (b) Para o caso particular \sigma(\theta)=\sigma_{0}\cos^{2}\theta, determinar explicitamente o potencial nas duas regiões.

Passo 2

Motivação e forma geral das soluções (sem resolver ainda).
Quando a distribuição de carga está apenas sobre a superfície esférica, nas regiões livre de carga ( r\neq R ) o potencial satisfaz a equação de Laplace. Assumindo independência em \varphi (isto é, só depende de \theta e r) a solução geral, usando expansão em polinômios de Legendre P_{\ell}(\cos\theta), é:
\Phi(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty}\left(A_{\ell}\, r^{\ell}+B_{\ell}\, r^{-(\ell+1)}\right)P_{\ell}(\cos\theta),
onde:
  • A_{\ell},B_{\ell} são constantes a determinar,
  • P_{\ell} é o polinômio de Legendre de ordem \ell,
  • a soma é sobre \ell=0,1,2,\dots.
Aqui cada termo representa multipolos: \ell=0 monopolo (constante / 1/r), \ell=1 dipolo, \ell=2 quadrupolo, etc. As variáveis: r é a distância ao centro e \theta é o ângulo polar com o eixo escolhido (o problema é axialmente simétrico).

Passo 3

Impor condições de regularidade para separar as soluções interna e externa.
  • Para r<R (dentro): o potencial deve ser finito em r=0. Os termos r^{-(\ell+1)} divergem em r=0, logo para a região interna devemos ter B_{\ell}^{\text{(in)}}=0. Então
\Phi_{\text{in}}(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty}A_{\ell}\, r^{\ell}P_{\ell}(\cos\theta),\qquad (r<R).
  • Para r>R (fora): o potencial deve decair quando r\to\infty. Os termos r^{\ell} crescem, então para fora devemos ter A_{\ell}^{\text{(out)}}=0. Assim
\Phi_{\text{out}}(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty}B_{\ell}\, r^{-(\ell+1)}P_{\ell}(\cos\theta),\qquad (r>R).

Passo 4

Condições de contorno na superfície r=R.
Temos duas condições físicas:
  1. Continuidade do potencial em r=R:
\Phi_{\text{in}}(R,\theta)=\Phi_{\text{out}}(R,\theta).
  1. Descontinuidade do componente radial do campo elétrico devido à carga superficial \sigma(\theta). Usando um pillbox de Gauss:
\hat r\cdot(\mathbf{E}_{\text{out}}-\mathbf{E}_{\text{in}})=\frac{\sigma(\theta)}{\epsilon_{0}}.
Como \mathbf{E}=-\nabla\Phi, isto dá
-\partial_{r}\Phi_{\text{out}}(R,\theta)+\partial_{r}\Phi_{\text{in}}(R,\theta)=\frac{\sigma(\theta)}{\epsilon_{0}},
ou rearranjando,
\partial_{r}\Phi_{\text{in}}(R,\theta)-\partial_{r}\Phi_{\text{out}}(R,\theta)=\frac{\sigma(\theta)}{\epsilon_{0}}.

Passo 5

Expandir \sigma(\theta) em polinômios de Legendre para trabalhar coeficiente a coeficiente.
Defina u=\cos\theta. A expansão em série de Legendre é
\sigma(\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty}\sigma_{\ell}\,P_{\ell}(\cos\theta),
com os coeficientes dados por (uso da ortogonalidade dos P_{\ell}):
\sigma_{\ell}=\frac{2\ell+1}{2}\int_{-1}^{1}\sigma(\theta(u))\,P_{\ell}(u)\,du.
A ortogonalidade que usamos é
\int_{-1}^{1}P_{\ell}(u)P_{m}(u)\,du=\frac{2}{2\ell+1}\delta_{\ell m}.

Passo 6

Aplicar a condição de continuidade do potencial em r=R coeficiente a coeficiente.
Escrevendo as expansões em P_{\ell} e comparando coeficientes para cada \ell,
A_{\ell}\,R^{\ell}=B_{\ell}\,R^{-(\ell+1)}\quad\Rightarrow\quad B_{\ell}=A_{\ell}\,R^{2\ell+1}.
Isto relaciona os coeficientes das soluções interna e externa para cada multipolo \ell.

Passo 7

Aplicar a condição de salto da derivada radial e usar a expansão de \sigma.
Calcule as derivadas radiais das soluções:
\partial_{r}\Phi_{\text{in}}(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty}A_{\ell}\,\ell\, r^{\ell-1}P_{\ell}(\cos\theta),
\partial_{r}\Phi_{\text{out}}(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty}B_{\ell}\,(-(\ell+1))\, r^{-(\ell+2)}P_{\ell}(\cos\theta).
Avalie em r=R e aplique a condição
\sum_{\ell=0}^{\infty}\Big[A_{\ell}\,\ell\,R^{\ell-1}+B_{\ell}\,(\ell+1)\,R^{-(\ell+2)}\Big]P_{\ell}(\cos\theta)=\frac{1}{\epsilon_{0}}\sum_{\ell=0}^{\infty}\sigma_{\ell}P_{\ell}(\cos\theta).
Agora substitua B_{\ell}=A_{\ell}R^{2\ell+1}. O coeficiente multiplicador de P_{\ell} no lado esquerdo fica:
A_{\ell}\,\ell\,R^{\ell-1}+A_{\ell}R^{2\ell+1}(\ell+1)R^{-(\ell+2)} = A_{\ell}\,R^{\ell-1}\big(\ell+(\ell+1)\big) = A_{\ell}\,(2\ell+1)\,R^{\ell-1}.
Igualando coeficientes para cada \ell,
A_{\ell}\,(2\ell+1)\,R^{\ell-1}=\frac{\sigma_{\ell}}{\epsilon_{0}}.
Portanto:
A_{\ell}=\frac{\sigma_{\ell}}{\epsilon_{0}(2\ell+1)R^{\ell-1}}.
E, pela relação do passo anterior,
B_{\ell}=A_{\ell}R^{2\ell+1}=\frac{\sigma_{\ell}R^{\ell+2}}{\epsilon_{0}(2\ell+1)}.

Passo 8

Escrever as formas finais gerais do potencial usando os coeficientes encontrados.
Substituindo A_{\ell} e B_{\ell} nas somas:
\boxed{\displaystyle \Phi_{\text{in}}(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty}\frac{\sigma_{\ell}}{\epsilon_{0}(2\ell+1)R^{\ell-1}}\,r^{\ell}P_{\ell}(\cos\theta),\qquad (r<R) }
\boxed{\displaystyle \Phi_{\text{out}}(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty}\frac{\sigma_{\ell}R^{\ell+2}}{\epsilon_{0}(2\ell+1)}\,\frac{P_{\ell}(\cos\theta)}{r^{\ell+1}},\qquad (r>R) }
com os coeficientes \sigma_{\ell} dados por
\displaystyle \sigma_{\ell}=\frac{2\ell+1}{2}\int_{-1}^{1}\sigma(\theta(u))\,P_{\ell}(u)\,du,\quad u=\cos\theta.
Estas expressões respondem à parte (a): forma geral do potencial e fórmula que determina as constantes em termos de \sigma(\theta).

Passo 9

Parte (b) — expandir \sigma(\theta)=\sigma_{0}\cos^{2}\theta em polinômios de Legendre.
Use u=\cos\theta. Recordando que
P_{0}(u)=1,\qquad P_{2}(u)=\frac{3u^{2}-1}{2},
resolvemos para u^{2} em função de P_{2}:
u^{2}=\frac{2}{3}P_{2}(u)+\frac{1}{3}.
Então
\cos^{2}\theta = u^{2}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}P_{2}(\cos\theta).
Multiplicando por \sigma_{0},
\sigma(\theta)=\sigma_{0}\cos^{2}\theta=\sigma_{0}\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}P_{2}(\cos\theta)\right).
Assim os únicos coeficientes não nulos são
\sigma_{0}^\text{(coef)}=\frac{\sigma_{0}}{3},\qquad \sigma_{2}^\text{(coef)}=\frac{2\sigma_{0}}{3},
e \sigma_{\ell}=0 para \ell\neq 0,2. (Aqui \sigma_{0}^\text{(coef)} denota o coeficiente \sigma_{\ell} para \ell=0; mantive a notação \sigma_{0} do enunciado como parâmetro e usei a identificação explícita dos coeficientes.)

Passo 10

Calcular A_{\ell},B_{\ell} para \ell=0 e \ell=2 e escrever \Phi_{\text{in}} e \Phi_{\text{out}}.
Para \ell=0:
A_{0}=\frac{\sigma_{0}/3}{\epsilon_{0}(1)R^{-1}}=\frac{\sigma_{0}R}{3\epsilon_{0}}, \qquad B_{0}=\frac{\sigma_{0}/3\;R^{2}}{\epsilon_{0}}=\frac{\sigma_{0}R^{2}}{3\epsilon_{0}}.
Para \ell=2:
A_{2}=\frac{(2\sigma_{0}/3)}{\epsilon_{0}(5)R^{1}}=\frac{2\sigma_{0}}{15\epsilon_{0}R}, \qquad B_{2}=\frac{(2\sigma_{0}/3)R^{4}}{\epsilon_{0}(5)}=\frac{2\sigma_{0}R^{4}}{15\epsilon_{0}}.
Como os demais \sigma_{\ell}=0, somente \ell=0,2 contribuem. Logo:
  • Dentro ( r<R):
\Phi_{\text{in}}(r,\theta)=A_{0}P_{0}+A_{2}r^{2}P_{2}(\cos\theta) =\frac{\sigma_{0}R}{3\epsilon_{0}}+\frac{2\sigma_{0}}{15\epsilon_{0}R}\,r^{2}P_{2}(\cos\theta).
Usando P_{2}(\cos\theta)=\dfrac{3\cos^{2}\theta-1}{2}, pode-se também escrever
\Phi_{\text{in}}(r,\theta)=\frac{\sigma_{0}R}{3\epsilon_{0}}+\frac{\sigma_{0}}{15\epsilon_{0}R}\,r^{2}\big(3\cos^{2}\theta-1\big).
  • Fora ( r>R):
\Phi_{\text{out}}(r,\theta)=\frac{B_{0}}{r}P_{0}+\frac{B_{2}}{r^{3}}P_{2}(\cos\theta) =\frac{\sigma_{0}R^{2}}{3\epsilon_{0}r}+\frac{2\sigma_{0}R^{4}}{15\epsilon_{0}r^{3}}\,P_{2}(\cos\theta),
ou explicitando P_{2}:
\Phi_{\text{out}}(r,\theta)=\frac{\sigma_{0}R^{2}}{3\epsilon_{0}r}+\frac{\sigma_{0}R^{4}}{15\epsilon_{0}r^{3}}\big(3\cos^{2}\theta-1\big).

Passo 11

Breve comentário físico-final (útil para a prova):
  • O termo \ell=0 representa o monopolo (carga total). De fato a carga total é Q=4\pi R^{2}\times(\sigma_{0}/3)=\tfrac{4\pi}{3}\sigma_{0}R^{2}, e o termo externo \sigma_{0}R^{2}/(3\epsilon_{0}r) coincide com Q/(4\pi\epsilon_{0}r).
  • O termo \ell=2 é o quadrupolo gerado pela dependência \cos^{2}\theta.
Você já tem a fórmula geral (útil para quaisquer \sigma(\theta)) e o exemplo calculado passo a passo para \sigma_{0}\cos^{2}\theta. Vai dar tudo certo na prova — respira, reescreve esses passos e pratica mais uma vez!

Resposta

(a) \displaystyle \Phi_{\text{in}}(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty}\frac{\sigma_{\ell}}{\epsilon_{0}(2\ell+1)R^{\ell-1}}\,r^{\ell}P_{\ell}(\cos\theta),\qquad (r<R)
\displaystyle \Phi_{\text{out}}(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty}\frac{\sigma_{\ell}R^{\ell+2}}{\epsilon_{0}(2\ell+1)}\,\frac{P_{\ell}(\cos\theta)}{r^{\ell+1}},\qquad (r>R)
com \displaystyle \sigma_{\ell}=\frac{2\ell+1}{2}\int_{-1}^{1}\sigma(\theta(u))\,P_{\ell}(u)\,du,\;u=\cos\theta.
(b) Para \sigma(\theta)=\sigma_{0}\cos^{2}\theta (somente \ell=0,2 não nulos):
\displaystyle \Phi_{\text{in}}(r,\theta)=\frac{\sigma_{0}R}{3\epsilon_{0}}+\frac{\sigma_{0}}{15\epsilon_{0}R}\,r^{2}\big(3\cos^{2}\theta-1\big),\quad (r<R)
\displaystyle \Phi_{\text{out}}(r,\theta)=\frac{\sigma_{0}R^{2}}{3\epsilon_{0}r}+\frac{\sigma_{0}R^{4}}{15\epsilon_{0}r^{3}}\big(3\cos^{2}\theta-1\big),\quad (r>R)

Exercícios relacionados