2-) Uma carga especificada
está colada sobre a superficie de uma casca esférica de raio R. (a) Encontre a forma geral do potencial dentro e fora da esfera, escrevendo as expressões para determinação das constantes que satisfaçam as condições de contorno em função de
. (b) Considere
e determine o potencial nas regiões citadas.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Uma casca esférica de raio
. - Uma densidade de carga superficial dependente de ângulo polar:
(colada sobre a superfície ).
As perguntas:
(a) Encontrar a forma geral do potencial elétricodentro ( ) e fora ( ) da esfera, escrevendo expressões que determinam as constantes em função de .
(b) Para o caso particular, determinar explicitamente o potencial nas duas regiões.
Passo 2
Motivação e forma geral das soluções (sem resolver ainda).
Quando a distribuição de carga está apenas sobre a superfície esférica, nas regiões livre de carga ( ) o potencial satisfaz a equação de Laplace. Assumindo independência em
(isto é, só depende de
e
) a solução geral, usando expansão em polinômios de Legendre
, é:
Quando a distribuição de carga está apenas sobre a superfície esférica, nas regiões livre de carga (
onde:
-
são constantes a determinar, -
é o polinômio de Legendre de ordem , - a soma é sobre
.
Aqui cada termo representa multipolos:
monopolo (constante /
),
dipolo,
quadrupolo, etc. As variáveis:
é a distância ao centro e
é o ângulo polar com o eixo escolhido (o problema é axialmente simétrico).
Passo 3
Impor condições de regularidade para separar as soluções interna e externa.
- Para
(dentro): o potencial deve ser finito em . Os termos divergem em , logo para a região interna devemos ter . Então
- Para
(fora): o potencial deve decair quando . Os termos crescem, então para fora devemos ter . Assim
Passo 4
Condições de contorno na superfície
.
Temos duas condições físicas:
Temos duas condições físicas:
- Continuidade do potencial em
:
- Descontinuidade do componente radial do campo elétrico devido à carga superficial
. Usando um pillbox de Gauss:
Como
, isto dá
ou rearranjando,
Passo 5
Expandir
em polinômios de Legendre para trabalhar coeficiente a coeficiente.
Defina . A expansão em série de Legendre é
Defina
com os coeficientes dados por (uso da ortogonalidade dos
):
A ortogonalidade que usamos é
Passo 6
Aplicar a condição de continuidade do potencial em
coeficiente a coeficiente.
Escrevendo as expansões em e comparando coeficientes para cada
,
Escrevendo as expansões em
Isto relaciona os coeficientes das soluções interna e externa para cada multipolo
.
Passo 7
Aplicar a condição de salto da derivada radial e usar a expansão de
.
Calcule as derivadas radiais das soluções:
Calcule as derivadas radiais das soluções:
Avalie em
e aplique a condição
Agora substitua
. O coeficiente multiplicador de
no lado esquerdo fica:
Igualando coeficientes para cada
,
Portanto:
E, pela relação do passo anterior,
Passo 8
Escrever as formas finais gerais do potencial usando os coeficientes encontrados.
Substituindo e
nas somas:
Substituindo
com os coeficientes
dados por
Estas expressões respondem à parte (a): forma geral do potencial e fórmula que determina as constantes em termos de
.
Passo 9
Parte (b) — expandir
em polinômios de Legendre.
Use . Recordando que
Use
resolvemos para
em função de
:
Então
Multiplicando por
,
Assim os únicos coeficientes não nulos são
e
para
. (Aqui
denota o coeficiente
para
; mantive a notação
do enunciado como parâmetro e usei a identificação explícita dos coeficientes.)
Passo 10
Calcular
para
e
e escrever
e
.
Para :
Para
Para
:
Como os demais
, somente
contribuem. Logo:
- Dentro (
):
Usando
, pode-se também escrever
- Fora (
):
ou explicitando
:
Passo 11
Breve comentário físico-final (útil para a prova):
- O termo
representa o monopolo (carga total). De fato a carga total é , e o termo externo coincide com . - O termo
é o quadrupolo gerado pela dependência .
Você já tem a fórmula geral (útil para quaisquer
) e o exemplo calculado passo a passo para
. Vai dar tudo certo na prova — respira, reescreve esses passos e pratica mais uma vez!
Resposta
(a)
com
com
(b) Para
(somente
não nulos):