Em termos da temperatura de Einstein T_{\mathrm{E}}, em que temperatura a energia interna molar de um sólido atingirá metade de seu valor clássico, 3 R T ?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Em termos da temperatura de Einstein T_{\mathrm{E}}, em que temperatura a energia interna molar de um sólido atinge metade de seu valor clássico 3R T?”
Conteúdo: modelo de Einstein para energia interna de sólidos. Vamos precisar da expressão da energia interna molar no modelo de Einstein e então igualá-la a \tfrac12\cdot3R T.

Passo 2

No modelo de Einstein, cada átomo vibra como um oscilador quântico de frequência fixa \omega. A energia interna molar é
U(T) \;=\; 3\,N_A\,\frac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/(kT)}-1}
onde N_A é o número de Avogadro e k a constante de Boltzmann. Definindo a temperatura de Einstein
T_{\mathrm{E}} \;=\;\frac{\hbar\omega}{k},
temos
U(T)\;=\;3R\,\frac{T_{\mathrm{E}}}{e^{T_{\mathrm{E}}/T}-1}.

Passo 3

Queremos U(T)=\tfrac12\,(3R T). Logo
3R\,\frac{T_{\mathrm{E}}}{e^{T_{\mathrm{E}}/T}-1} \;=\;\frac32\,R\,T.
Cancelando 3R de ambos os lados e multiplicando por \bigl(e^{T_{\mathrm{E}}/T}-1\bigr)
\frac{T_{\mathrm{E}}}{e^{T_{\mathrm{E}}/T}-1} \;=\;\frac{T}{2} \quad\Longrightarrow\quad 2\,T_{\mathrm{E}} \;=\;T\bigl(e^{T_{\mathrm{E}}/T}-1\bigr).

Passo 4

Defina x=\frac{T_{\mathrm{E}}}{T}. Então T=T_{\mathrm{E}}/x e a equação vira
2\,T_{\mathrm{E}} =\frac{T_{\mathrm{E}}}{x}\,\bigl(e^x-1\bigr) \quad\Longrightarrow\quad 2 = \frac{e^x-1}{x} \quad\Longrightarrow\quad e^x = 2x+1.
Precisamos achar numericamente a raiz de
f(x)=e^x -2x -1 = 0.

Passo 5

Fazendo tentativa de valor:
x=1: e^1 - 2 \cdot 1 - 1 = 2,718 - 3 = -0,282 (negativo)
x=1,3: e^{1,3} - 2 \cdot 1,3 - 1 \approx 3,669 - 3,6 = 0,069 (positivo)
Interpolando obtemos x \approx 1,256.

Passo 6

Voltando a T:
T = \frac{T_{\mathrm{E}}}{x} \approx \frac{T_{\mathrm{E}}}{1{,}256}\approx0{,}796\,T_{\mathrm{E}}.

Resposta

T \approx 0{,}80\,T_{\mathrm{E}}.

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