Em termos dos vetores unitários, qual é o torque em relação ao ponto de coordenadas (3,0 m, 2,0 m, 4,0 m) a que está submetido um vidro de pimenta localizado nas coordenadas (3,0 m,-2,0 m, 4,0 m) devido à soma vetorial de F1 e F2?

Passo 1

Beleza, olha o que o enunciado quer dizer e o que a gente vai usar:
– A gente tem um “pivô” (ponto de referência pro torque) em (3,0 m, 2,0 m, 4,0 m).
– O ponto onde a força age (o vidro) está em (3,0 m, –2,0 m, 4,0 m).
– As forças aplicadas são vec F1 e vec F2, mas a questão pede o torque devido à soma vec F = vec F1 + vec F2.
Conteúdo: torque (ou momento de uma força) em mecânica, definido como
vectau = vec r times vec F,
onde “ times” é o produto vetorial (cross product). Pra resolver, a gente vai precisar:
  1. Calcular o vetor posição vec r que vai do pivô até o ponto de aplicação da força.
  2. Somar as forças e depois fazer o cross product vec r times (vec F1 + vec F2).

Passo 2

Calcular o vetor posição vec r.
vec r = posição do ponto de aplicação – posição do pivô.
Em cada componente:
  • x: 3,0 - 3,0 = 0
  • y: (-2,0) - 2,0 = -4,0
  • z: 4,0 - 4,0 = 0
    Logo
vec r = 0,hatimath ;+; (-4,0),hatjmath ;+; 0,hat k ;=;-4,hatjmath

Passo 3

Definir a força resultante:
vec F = vec F1 + vec F2 = (F1x+F2x),hatimath ;+; (F1y+F2y),hatjmath ;+; (F1z+F2z),hat k

Passo 4

Agora vamos ao cross product vectau = vec r times vec F.
Lembrete: se
vec a = (ax,ay,az), vec b = (bx,by,bz),
então
vec a times vec b = hatimath & hatjmath & hat k ax & ay & az bx & by & bz = l(ay bz - az byr)hatimath - l(ax bz - az bxr)hatjmath + l(ax by - ay bxr)hat k
No nosso caso,
vec r = (0,,-4,,0), vec F = l(Fx,,Fy,,Fzr) ;onde; Fx = F1x+F2x,;dots
Aplicando a fórmula:
  • Componente em hatimath:
    ry,Fz - rz,Fy = (-4),Fz - 0cdot Fy = -4,Fz
  • Componente em hatjmath:
    rz,Fx - rx,Fz = 0cdot Fx - 0cdot Fz = 0
    (Mas lembre que no determinante vem com sinal “–”, então continua 0.)
  • Componente em hat k:
    rx,Fy - ry,Fx = 0cdot Fy - (-4),Fx = 4,Fx

Passo 5

Substituindo Fx = F1x+F2x e Fz = F1z+F2z, obtemos
vectau = (-4,Fz),hatimath ;+; 0,hatjmath ;+; (4,Fx),hat k = -4,(F1z+F2z),hatimath ;+; 4,(F1x+F2x),hat k

Resposta

boxed vectau = -4,l(F1z+F2zr),hatimath ;+; 4,l(F1x+F2xr),hat k l[Ncdot mr]

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