Em temperaturas muito baixas, o calor específico de um metal pode ser expresso por c=aT+bT^3. No caso do cobre, a=0,0108 J / kg cdot K^2 e b=7,62 cdot 10^-4 J / kg cdot K^4. Qual o calor necessário para aquecer 1 kg do metal de 1 a 3 K ? Resp: 0 , 0 9 2 0 J / k g K e 0 , 0 5 8 4 J

Passo 1

Beleza, vou te mostrar como resolver esse lance de calor específico que muda com a temperatura. A gente tem um pedaço de cobre de massa c(T) = a,T + b,T^3 ,kg e o calor específico dele, em baixas temperaturas, varia com a temperatura como
a = 0,0108;J/(kgcdot K^2), b = 7,62times10^-4;J/(kgcdot K^4)
onde
O que a gente quer é descobrir quanta energia precisa pra aquecer esse 1 kg de cobre de ,K até ,K.
Conteúdo: calorimetria com calor específico variável e cálculo de integral definida.

Passo 2

Quando o calor específico Q = m integralTi^Tf c(T),dT depende de Q = integral1^3 l(a,T + b,T^3r),dT , a gente não pode usar só . Em vez disso, precisamos integrar infinitesimais de calor:
Isso vem da ideia de que . Como aqui ,kg, o não atrapalha, fica

Passo 3

Agora, é só separar a integral em duas partes e aplicar as regras básicas de integração:
integral (a,T),dT = a ,T^22, integral (b,T^3),dT = b ,T^44
Logo,
Q = [a,T^22 + b,T^44]1^3

Passo 4

Vamos botar os limites:
  1. Termo com a,T^22|1^3 = 0,01082,(3^2 - 1^2) = 0,0054,(9 - 1) = 0,0054 times 8 = 0,0432;J :
b,T^44|1^3 = 7,62times10^-44,(3^4 - 1^4) = 1,905times10^-4,(81 - 1) = 1,905times10^-4 times 80 = 0,01524;J
  1. Termo com Q = 0,0432 + 0,01524 = 0,05844;J :
Somando os dois pedaços:

Resposta

boxedQ = 0,0584;J

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