A Terra gira (e, com ela, seus habitantes) ao redor de um eixo que passa nos polos. (a) Qual é a velocidade angular de rotação da Terra? (b) Quais são o módulo da velocidade linear e o módulo da aceleração radial para uma pessoa no equador? © O mesmo para alguém em Florianópolis com latitude de 27,6^circ Sul? (d) O mesmo para alguém no polo Sul? Justifique.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre o movimento de rotação da Terra. O enunciado nos pede para calcular:
a) A velocidade angular de rotação da Terra.
b) A velocidade linear e a aceleração radial para uma pessoa no Equador.
c) A mesma coisa para alguém em Florianópolis, que está a 27,6^circ de latitude Sul.
d) E para alguém no Polo Sul.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de velocidade angular, velocidade linear e aceleração centrípeta, além de usar algumas fórmulas de movimento circular.

Passo 2

Parte a: Qual é a velocidade angular de rotação da Terra?
A velocidade angular ( omega) mede o quanto um objeto gira em um certo período de tempo. A Terra completa uma rotação a cada 24 horas.
Primeiro, vamos converter 24 horas em segundos para facilitar os cálculos:
24 horas times 60 minutos/hora times 60 segundos/minuto = 86,400 segundos
A velocidade angular é calculada pela fórmula:
omega = 2piT
onde T é o período de rotação.
Substituindo:
omega = 2pi86,400 s approx 7,272 times 10^-5 rad/s

Passo 3

Parte b: Velocidade linear e aceleração radial no Equador
No Equador, a distância ao eixo de rotação da Terra é igual ao raio da Terra, R approx 6,378 km ou 6,378 times 10^6 m.
A velocidade linear ( v) é dada por:
v = omega R
Substituindo os valores:
v = 7,272 times 10^-5 rad/s times 6,378 times 10^6 m approx 464 m/s
A aceleração radial (ou centrípeta, ac) é dada por:
ac = omega^2 R
Substituindo:
ac = (7,272 times 10^-5 rad/s)^2 times 6,378 times 10^6 m approx 0,034 m/s^2

Passo 4

Parte c: Velocidade linear e aceleração radial em Florianópolis (latitude 27,6^circ S)
Em Florianópolis, que está a uma latitude de 27,6^circ, a distância efetiva ao eixo de rotação é menor. Essa distância ( r) pode ser calculada por:
r = R cos(phi)
onde phi é a latitude.
Calculando:
r = 6,378 times 10^6 m times cos(27,6^circ) approx 6,378 times 10^6 m times 0,887 approx 5,66 times 10^6 m
Agora, a velocidade linear:
v = omega r = 7,272 times 10^-5 rad/s times 5,66 times 10^6 m approx 411,6 m/s
E a aceleração radial:
ac = omega^2 r = (7,272 times 10^-5 rad/s)^2 times 5,66 times 10^6 m approx 0,029 m/s^2

Passo 5

Parte d: Velocidade linear e aceleração radial no Polo Sul
No Polo Sul, a latitude é 90^circ, então:
r = R cos(90^circ) = R times 0 = 0 m
Isso significa que a velocidade linear é:
v = omega times 0 = 0 m/s
E a aceleração radial também é:
ac = omega^2 times 0 = 0 m/s^2
Isso faz sentido porque no polo, você está exatamente no eixo de rotação, então não há movimento linear circular.

Resposta

a) A velocidade angular de rotação da Terra é aproximadamente 7,272 times 10^-5 rad/s.
b) No Equador, a velocidade linear é cerca de 464 m/s e a aceleração radial é aproximadamente 0,034 m/s^2.
c) Em Florianópolis, a velocidade linear é aproximadamente 411,6 m/s e a aceleração radial é cerca de 0,029 m/s^2.
d) No Polo Sul, a velocidade linear e a aceleração radial são 0 m/s, já que não há movimento circular nesse ponto.

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