Na Terra, num local onde
, um oscilador bloco-mola disposto verticalmente oscila com período
. Se esse oscilador for levado para a Lua, onde
, qual será o período de oscilação do bloco?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
- Dados:
-
na Terra: . - Período na Terra:
. -
na Lua: . - Assume-se que a massa do bloco
e a constante da mola não mudam ao levar o sistema à Lua (só muda o campo gravitacional).
-
- Pergunta:
- Qual é o período de oscilação do bloco na Lua, isto é, encontrar
.
- Qual é o período de oscilação do bloco na Lua, isto é, encontrar
Passo 2
Modelagem física e equação do movimento (passo-a-passo didático).
- Considere um bloco de massa
preso a uma mola vertical de constante elástica . Há a força peso apontando para baixo e a força elástica apontando para cima (quando mede a deformação da mola a partir do seu comprimento natural). - Quando o bloco está em repouso na posição de equilíbrio estático, o alongamento da mola
satisfaz a condição de equilíbrio de forças: Aqui é a constante da mola, é a massa e é a aceleração gravitacional local. - Agora descreve-se o movimento em torno desse ponto de equilíbrio. Defina
como o deslocamento pequeno em relação à posição de equilíbrio (ou seja, se o bloco for deslocado e solto, é a nova posição de equilíbrio). A força elástica total em relação a essa posição é proporcional a . - A equação de movimento para pequenas oscilações em torno do equilíbrio fica, pela segunda lei de Newton:
Nesta equação: -
é a segunda derivada temporal de (aceleração do deslocamento em torno do equilíbrio); - o termo
é a massa vezes aceleração; -
é a força restauradora da mola linearizada em torno do equilíbrio.
-
Passo 3
Identificação do movimento harmônico e período.
- A equação
é a equação padrão de um movimento harmônico simples (MHS). Para MHS a frequência angular natural satisfaz: Aqui tem unidade de rad/s e representa a rapidez angular das oscilações pequenas. - O período
(tempo para uma oscilação completa) relaciona-se com por: Neste resultado: -
depende apenas de e ; - não aparece
na expressão do período.
-
Passo 4
Interpretação física e consequência para o problema.
- Física intuitiva: a gravidade determina a posição de equilíbrio (via
), ou seja, quanto a mola fica esticada em repouso. Porém, as oscilações pequenas ao redor desse novo ponto de equilíbrio são controladas apenas pela “rigidez” da mola e pela inércia da massa . A gravidade desloca o ponto médio das oscilações, mas não altera a força restauradora linear que produz as oscilações. - Consequência imediata: como
não depende de , mudar de para não altera o período, desde que e permaneçam os mesmos.
Passo 5
Aplicação direta ao enunciado (sem repetir o valor final aqui).
- Da fórmula
segue que o período é independente de . Logo: Como o enunciado deu , conclui-se que o período na Lua será igual a esse valor.