Na Terra, num local onde \mathrm{g}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, um oscilador bloco-mola disposto verticalmente oscila com período \mathrm{T}=4,0 \mathrm{~s}. Se esse oscilador for levado para a Lua, onde \mathrm{g}=1,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, qual será o período de oscilação do bloco?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Dados:
    • g na Terra: g_{\text{Terra}}=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    • Período na Terra: T_{\text{Terra}}=4,0\\ \mathrm{s}.
    • g na Lua: g_{\text{Lua}}=1,6\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    • Assume-se que a massa do bloco m e a constante da mola k não mudam ao levar o sistema à Lua (só muda o campo gravitacional).
  • Pergunta:
    • Qual é o período de oscilação do bloco na Lua, isto é, encontrar T_{\text{Lua}}.

Passo 2

Modelagem física e equação do movimento (passo-a-passo didático).
  • Considere um bloco de massa m preso a uma mola vertical de constante elástica k. Há a força peso m g apontando para baixo e a força elástica F_{\text{el}}=-k x apontando para cima (quando x mede a deformação da mola a partir do seu comprimento natural).
  • Quando o bloco está em repouso na posição de equilíbrio estático, o alongamento da mola \Delta satisfaz a condição de equilíbrio de forças: k\Delta = m g.Aqui k é a constante da mola, m é a massa e g é a aceleração gravitacional local.
  • Agora descreve-se o movimento em torno desse ponto de equilíbrio. Defina \xi(t) como o deslocamento pequeno em relação à posição de equilíbrio (ou seja, se o bloco for deslocado e solto, \xi=0 é a nova posição de equilíbrio). A força elástica total em relação a essa posição é proporcional a -k\xi.
  • A equação de movimento para pequenas oscilações em torno do equilíbrio fica, pela segunda lei de Newton: m\ddot{\xi} = -k\,\xi.Nesta equação:
    • \ddot{\xi} é a segunda derivada temporal de \xi (aceleração do deslocamento em torno do equilíbrio);
    • o termo m\ddot{\xi} é a massa vezes aceleração;
    • -k\xi é a força restauradora da mola linearizada em torno do equilíbrio.

Passo 3

Identificação do movimento harmônico e período.
  • A equação m\ddot{\xi} = -k\xi é a equação padrão de um movimento harmônico simples (MHS). Para MHS a frequência angular natural \omega satisfaz: \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.Aqui \omega tem unidade de rad/s e representa a rapidez angular das oscilações pequenas.
  • O período T (tempo para uma oscilação completa) relaciona-se com \omega por: T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.Neste resultado:
    • T depende apenas de m e k;
    • não aparece g na expressão do período.

Passo 4

Interpretação física e consequência para o problema.
  • Física intuitiva: a gravidade determina a posição de equilíbrio (via k\Delta = mg), ou seja, quanto a mola fica esticada em repouso. Porém, as oscilações pequenas ao redor desse novo ponto de equilíbrio são controladas apenas pela “rigidez” da mola k e pela inércia da massa m. A gravidade desloca o ponto médio das oscilações, mas não altera a força restauradora linear que produz as oscilações.
  • Consequência imediata: como T não depende de g, mudar de g_{\text{Terra}} para g_{\text{Lua}} não altera o período, desde que m e k permaneçam os mesmos.

Passo 5

Aplicação direta ao enunciado (sem repetir o valor final aqui).
  • Da fórmula \displaystyle T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} segue que o período é independente de g. Logo: T_{\text{Lua}} = T_{\text{Terra}}.Como o enunciado deu T_{\text{Terra}}=4,0\\ \mathrm{s}, conclui-se que o período na Lua será igual a esse valor.

Resposta

T_{\text{Lua}}=4,0\\ \mathrm{s}

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