Um bloco realiza MHS de amplitude
. Determine o valor da elongação quando a energia cinética for o dobro da energia potencial.
Passo 1
O enunciado dá claramente a amplitude do MHS e pede a elongação (deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio) no instante em que a energia cinética é o dobro da energia potencial. Dados fornecidos:
- Amplitude:
. - Condição pedida: energia cinética
é o dobro da energia potencial , isto é .
Passo 2
Vamos lembrar as expressões de energia para um oscilador harmônico (mola + massa), e explicar o que cada símbolo significa.
- Energia potencial elástica armazenada na mola quando o bloco está deslocado de
do equilíbrio:
onde
é a constante da mola e
é a elongação instantânea (positivo ou negativo dependendo do lado).
- Energia cinética do bloco quando sua velocidade é
:
onde
é a massa do bloco.
- Energia mecânica total (constante no MHS sem atrito) pode ser escrita usando a amplitude
. No ponto de amplitude a velocidade é zero, então toda a energia é potencial; assim
Aqui
é a energia mecânica total do sistema.
Essas fórmulas valem sempre para o MHS ideal (sem perdas).
Passo 3
Agora vamos expressar a energia cinética em função de
e
, eliminando
e
. Usando conservação da energia:
Isolando
obtemos
Observação didática: isso também pode ser obtido a partir da relação
e de
, usando
; o resultado é o mesmo.
Passo 4
Aplicar a condição do enunciado:
. Substituímos as expressões de
e
:
Podemos cancelar
dos dois lados (não é zero), ficando:
Passo 5
Resolver a equação para
. Reescrevendo:
Tirando raiz (lembrando das duas soluções, positiva e negativa, porque elongação pode ser dos dois lados):
Passo 6
Fazer a substituição numérica com
. Calculando:
(Usei
, então
, arredondando para duas casas decimais dá
.)