Um bloco realiza MHS de amplitude \mathrm{A}=20 \mathrm{~cm}. Determine o valor da elongação quando a energia cinética for o dobro da energia potencial.

Passo 1

O enunciado dá claramente a amplitude do MHS e pede a elongação (deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio) no instante em que a energia cinética é o dobro da energia potencial. Dados fornecidos:
  • Amplitude: A=20\\ \mathrm{cm}.
  • Condição pedida: energia cinética K é o dobro da energia potencial U, isto é K=2U.

Passo 2

Vamos lembrar as expressões de energia para um oscilador harmônico (mola + massa), e explicar o que cada símbolo significa.
  • Energia potencial elástica armazenada na mola quando o bloco está deslocado de x do equilíbrio:
U=\tfrac{1}{2}k x^{2},
onde k é a constante da mola e x é a elongação instantânea (positivo ou negativo dependendo do lado).
  • Energia cinética do bloco quando sua velocidade é v:
K=\tfrac{1}{2}m v^{2},
onde m é a massa do bloco.
  • Energia mecânica total (constante no MHS sem atrito) pode ser escrita usando a amplitude A. No ponto de amplitude a velocidade é zero, então toda a energia é potencial; assim
E=\tfrac{1}{2}k A^{2}.
Aqui E é a energia mecânica total do sistema.
Essas fórmulas valem sempre para o MHS ideal (sem perdas).

Passo 3

Agora vamos expressar a energia cinética em função de A e x, eliminando v e m. Usando conservação da energia:
E=K+U \quad\Rightarrow\quad \tfrac{1}{2}k A^{2}=K+\tfrac{1}{2}k x^{2}.
Isolando K obtemos
K=\tfrac{1}{2}k\bigl(A^{2}-x^{2}\bigr).
Observação didática: isso também pode ser obtido a partir da relação v^{2}=\omega^{2}(A^{2}-x^{2}) e de K=\tfrac{1}{2}m v^{2}, usando \omega^{2}=k/m; o resultado é o mesmo.

Passo 4

Aplicar a condição do enunciado: K=2U. Substituímos as expressões de K e U:
\tfrac{1}{2}k\bigl(A^{2}-x^{2}\bigr)=2\cdot\left(\tfrac{1}{2}k x^{2}\right).
Podemos cancelar \tfrac{1}{2}k dos dois lados (não é zero), ficando:
A^{2}-x^{2}=2x^{2}.

Passo 5

Resolver a equação para x. Reescrevendo:
A^{2}=3x^{2}\quad\Rightarrow\quad x^{2}=\frac{A^{2}}{3}.
Tirando raiz (lembrando das duas soluções, positiva e negativa, porque elongação pode ser dos dois lados):
x=\pm\frac{A}{\sqrt{3}}.

Passo 6

Fazer a substituição numérica com A=20\\ \mathrm{cm}. Calculando:
x=\pm\frac{20\\ \mathrm{cm}}{\sqrt{3}}=\pm\left(\frac{20}{\sqrt{3}}\right)\\ \mathrm{cm}\approx\pm 11,55\\ \mathrm{cm}.
(Usei \sqrt{3}\approx1,732, então 20/1,732\approx11,547, arredondando para duas casas decimais dá 11,55\\ \mathrm{cm}.)

Resposta

\displaystyle x=\pm\frac{A}{\sqrt{3}}=\pm\frac{20\\ \mathrm{cm}}{\sqrt{3}}\approx\pm 11,55\\ \mathrm{cm}

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