Uma partícula que executa MHS tem velocidade máxima 6,0 \pi \mathrm{~m} / \mathrm{s} e amplitude 30 cm . Calcule o período do movimento.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Informação: a partícula executa Movimento Harmônico Simples (MHS).
  • Informação: velocidade máxima v_{\max} = 6{,}0\pi\\ \mathrm{m/s}.
  • Informação: amplitude A = 30\\ \mathrm{cm}.
  • Pergunta: calcular o período do movimento T.

Passo 2

Relembrando a relação fundamental entre velocidade máxima, amplitude e frequência angular em MHS:
  • Se a posição é dada por x(t)=A\cos(\omega t+\varphi), a velocidade é
v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
  • A velocidade máxima em módulo ocorre quando |\sin(\omega t+\varphi)|=1, portanto
v_{\max}=A\omega.
Aqui:
  • v_{\max} é a velocidade máxima (em \mathrm{m/s}),
  • A é a amplitude (em \mathrm{m}),
  • \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s}),
  • T é o período (em \mathrm{s}) e está relacionada com \omega por
T=\frac{2\pi}{\omega}.

Passo 3

Converter a amplitude para unidades SI (metros), porque a velocidade está em \mathrm{m/s}:
A = 30\\ \mathrm{cm} = 0{,}30\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Usar v_{\max}=A\omega para encontrar \omega:
\omega=\frac{v_{\max}}{A}.
Substituindo os valores (pegando v_{\max}=6{,}0\pi\\ \mathrm{m/s} e A=0{,}30\\ \mathrm{m}):
\omega=\frac{6{,}0\pi}{0{,}30}.

Passo 5

Calcular \omega passo a passo:
\frac{6{,}0\pi}{0{,}30}=\frac{6{,}0}{0{,}30}\pi=\left(\frac{6{,}0}{0{,}30}\right)\pi.
Calcular a razão numérica:
\frac{6{,}0}{0{,}30}=\frac{6{,}0}{0{,}30}=20.
Portanto
\omega=20\pi\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Agora calcular o período usando T=\dfrac{2\pi}{\omega}:
T=\frac{2\pi}{20\pi}.
Aqui os \pi se cancelam:
T=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}=0{,}10\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Breve checagem mental: como v_{\max}=A\omega, se \omega é grande o período deve ser pequeno; obtivemos \omega=20\pi\\ \mathrm{rad/s} (valor relativamente alto), então T=0{,}10\\ \mathrm{s} faz sentido. Vai dar tudo certo na prova — respira fundo e confia no passo a passo.

Resposta

T=0{,}10\\ \mathrm{s}

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