Um terreno irregular tem os seus vértices localizados pelas coordenadas A(5, 20, 8), B(7, 50, 10), C(60, 40, 3) e D(50, 10, 2), dadas num sistema de coordenadas cartesianas triortogonais, em que a unidade de medida nos eixos coordenados é o metro e as cotas estão referidas a um plano horizontal de referência. Calcule:
o perimetro do terreno;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de geometria envolvendo coordenadas no espaço tridimensional. O objetivo aqui é calcular o perímetro de um terreno irregular definido por quatro pontos no espaço. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos que formam o terreno. Temos quatro vértices com as seguintes coordenadas:
  • A(5, 20, 8)
  • B(7, 50, 10)
  • C(60, 40, 3)
  • D(50, 10, 2)

Passo 3

Para calcular o perímetro, precisamos encontrar a distância entre cada par consecutivo de pontos e depois somar todas essas distâncias. Ou seja, vamos encontrar:
  • Distância entre A e B
  • Distância entre B e C
  • Distância entre C e D
  • Distância entre D e A

Passo 4

A fórmula para calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional é:
Distância = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 â
Essa fórmula nos dá a medida direta entre dois pontos no espaço, considerando todas as três dimensões.

Passo 5

Vamos começar calculando a distância entre A(5, 20, 8) e B(7, 50, 10):
Distância AB = raiz(7 - 5)^2 + (50 - 20)^2 + (10 - 8)^2 â
Simplificando:
Distância AB = raiz(2)^2 + (30)^2 + (2)^2 = raiz4 + 900 + 4 = raiz908 approx 30,13 metros â

Passo 6

Agora, vamos calcular a distância entre B(7, 50, 10) e C(60, 40, 3):
Distância BC = raiz(60 - 7)^2 + (40 - 50)^2 + (3 - 10)^2 â
Simplificando:
Distância BC = raiz(53)^2 + (-10)^2 + (-7)^2 = raiz2809 + 100 + 49 = raiz2958 approx 54,43 metros â

Passo 7

Em seguida, vamos calcular a distância entre C(60, 40, 3) e D(50, 10, 2):
Distância CD = raiz(50 - 60)^2 + (10 - 40)^2 + (2 - 3)^2 â
Simplificando:
Distância CD = raiz(-10)^2 + (-30)^2 + (-1)^2 = raiz100 + 900 + 1 = raiz1001 approx 31,64 metros â

Passo 8

Por último, vamos calcular a distância entre D(50, 10, 2) e A(5, 20, 8):
Distância DA = raiz(5 - 50)^2 + (20 - 10)^2 + (8 - 2)^2 â
Simplificando:
Distância DA = raiz(-45)^2 + (10)^2 + (6)^2 = raiz2025 + 100 + 36 = raiz2161 approx 46,52 metros â

Resposta

Somando todas as distâncias:
Perímetro = 30,13 + 54,43 + 31,64 + 46,52 approx 162,72 metros í
Então, o perímetro do terreno é aproximadamente 162,72 metros.

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