Um terreno irregular tem os seus vértices localizados pelas coordenadas A(5, 20, 8), B(7, 50, 10), C(60, 40, 3) e D(50, 10, 2), dadas num sistema de coordenadas cartesianas triortogonais, em que a unidade de medida nos eixos coordenados é o metro e as cotas estão referidas a um plano horizontal de referência. Calcule:
o perimetro do terreno;
o perimetro do terreno;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de geometria envolvendo coordenadas no espaço tridimensional. O objetivo aqui é calcular o perímetro de um terreno irregular definido por quatro pontos no espaço. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos que formam o terreno. Temos quatro vértices com as seguintes coordenadas:
- A(5, 20, 8)
- B(7, 50, 10)
- C(60, 40, 3)
- D(50, 10, 2)
Passo 3
Para calcular o perímetro, precisamos encontrar a distância entre cada par consecutivo de pontos e depois somar todas essas distâncias. Ou seja, vamos encontrar:
- Distância entre A e B
- Distância entre B e C
- Distância entre C e D
- Distância entre D e A
Passo 4
A fórmula para calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional é:
Essa fórmula nos dá a medida direta entre dois pontos no espaço, considerando todas as três dimensões.
Passo 5
Vamos começar calculando a distância entre A(5, 20, 8) e B(7, 50, 10):
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular a distância entre B(7, 50, 10) e C(60, 40, 3):
Simplificando:
Passo 7
Em seguida, vamos calcular a distância entre C(60, 40, 3) e D(50, 10, 2):
Simplificando:
Passo 8
Por último, vamos calcular a distância entre D(50, 10, 2) e A(5, 20, 8):
Simplificando:
Resposta
Somando todas as distâncias:
Então, o perímetro do terreno é aproximadamente 162,72 metros.