Em terreno montanhoso, um ciclista tenta manter a velocidade escalar média de
, na subida, e de
, na descida. Sabendo que o percurso de subida e o de descida têm a mesma extensão e que, após a subida, o retorno é imediato, determine a velocidade média do ciclista em todo o percurso, considerando que as trajetórias de subida e descida sejam distintas.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede e as informações que temos):
- O ciclista sobe com velocidade escalar média
.
- O ciclista desce com velocidade escalar média
.
- As trajetórias de subida e descida têm a mesma extensão (ou seja, a distância percorrida na subida é igual à distância percorrida na descida). Vou chamar essa distância comum de
.
- Após a subida o retorno é imediato (ou seja, ele sobe e volta em seguida), e as trajetórias são distintas (mas a mesma distância), então o percurso total é a soma das duas distâncias:
.
- O que é pedido: determinar a velocidade média do ciclista em todo o percurso (subida + descida), ou seja, a velocidade média no trajeto completo de ida e volta.
Passo 2
Conceito-chave: definição de velocidade média para um percurso total
- Em qualquer viagem, a velocidade média
é definida como a razão entre a distância total percorrida e o tempo total gasto:
- Aqui a distância total é
. Precisamos calcular o tempo total (tempo de subida + tempo de descida) usando as velocidades dadas.
Passo 3
Cálculo dos tempos de cada trecho (explicando passo a passo)
- O tempo gasto em um trecho é distância dividida por velocidade. Para a subida:
- Para a descida:
- O tempo total é:
Passo 4
Montando a expressão da velocidade média e simplificando (a distância
cancela)
- Aplicando a definição:
- Fatorando
no denominador e simplificando :
- Observação didática: essa fórmula é a média harmônica de duas velocidades quando as distâncias são iguais. A média harmônica aparece sempre que queremos a velocidade média em trechos de igual comprimento.
Passo 5
Substituindo os valores numéricos e calculando passo a passo
- Substituímos
e na expressão:
- Calculemos o denominador com frações:
, então
- Portanto
Passo 6
Interpretação numérica e verificação rápida com exemplo concreto
- Convertendo a fração para decimal, usando vírgula conforme pedido:
- Unidade:
.
- Verificação rápida com
(exemplo concreto): tempo subida ; tempo descida ; tempo total ; distância total ; velocidade média . Confere com o resultado analítico.