Em terreno montanhoso, um ciclista tenta manter a velocidade escalar média de \mathbf{v}_{\text {sub }} \boldsymbol{=} \mathbf{6} \mathrm{km} / \mathrm{h}, na subida, e de \mathrm{v}_{\text {desc }}=24 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, na descida. Sabendo que o percurso de subida e o de descida têm a mesma extensão e que, após a subida, o retorno é imediato, determine a velocidade média do ciclista em todo o percurso, considerando que as trajetórias de subida e descida sejam distintas.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede e as informações que temos):
  • O ciclista sobe com velocidade escalar média \,v_{\text{sub}}=6\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
  • O ciclista desce com velocidade escalar média \,v_{\text{desc}}=24\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
  • As trajetórias de subida e descida têm a mesma extensão (ou seja, a distância percorrida na subida é igual à distância percorrida na descida). Vou chamar essa distância comum de \,d.
  • Após a subida o retorno é imediato (ou seja, ele sobe e volta em seguida), e as trajetórias são distintas (mas a mesma distância), então o percurso total é a soma das duas distâncias: 2d.
  • O que é pedido: determinar a velocidade média do ciclista em todo o percurso (subida + descida), ou seja, a velocidade média no trajeto completo de ida e volta.

Passo 2

Conceito-chave: definição de velocidade média para um percurso total
  • Em qualquer viagem, a velocidade média \,v_{\text{média}}é é definida como a razão entre a distância total percorrida e o tempo total gasto:
v_{\text{média}}=\frac{\text{distância total}}{\text{tempo total}}.éâ
  • Aqui a distância total é 2d. Precisamos calcular o tempo total (tempo de subida + tempo de descida) usando as velocidades dadas.

Passo 3

Cálculo dos tempos de cada trecho (explicando passo a passo)
  • O tempo gasto em um trecho é distância dividida por velocidade. Para a subida:
t_{\text{sub}}=\frac{d}{v_{\text{sub}}}.
  • Para a descida:
t_{\text{desc}}=\frac{d}{v_{\text{desc}}}.
  • O tempo total é:
t_{\text{total}}=t_{\text{sub}}+t_{\text{desc}}=\frac{d}{v_{\text{sub}}}+\frac{d}{v_{\text{desc}}}.

Passo 4

Montando a expressão da velocidade média e simplificando (a distância d cancela)
  • Aplicando a definição:
v_{\text{média}}=\frac{2d}{\dfrac{d}{v_{\text{sub}}}+\dfrac{d}{v_{\text{desc}}}}.é
  • Fatorando d no denominador e simplificando d:
v_{\text{média}}=\frac{2d}{d\!\left(\dfrac{1}{v_{\text{sub}}}+\dfrac{1}{v_{\text{desc}}}\right)}=\frac{2}{\dfrac{1}{v_{\text{sub}}}+\dfrac{1}{v_{\text{desc}}}}.é
  • Observação didática: essa fórmula é a média harmônica de duas velocidades quando as distâncias são iguais. A média harmônica aparece sempre que queremos a velocidade média em trechos de igual comprimento.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos e calculando passo a passo
  • Substituímos \,v_{\text{sub}}=6\\ \mathrm{km}/\mathrm{h} e \,v_{\text{desc}}=24\\ \mathrm{km}/\mathrm{h} na expressão:
v_{\text{média}}=\frac{2}{\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{24}}.é
  • Calculemos o denominador com frações: \dfrac{1}{6}=\dfrac{4}{24}, então
\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{24}=\dfrac{4}{24}+\dfrac{1}{24}=\dfrac{5}{24}.
  • Portanto
v_{\text{média}}=\frac{2}{\dfrac{5}{24}}=2\cdot\frac{24}{5}=\frac{48}{5}.é

Passo 6

Interpretação numérica e verificação rápida com exemplo concreto
  • Convertendo a fração para decimal, usando vírgula conforme pedido:
\frac{48}{5}=9,6.
  • Unidade: \mathrm{km}/\mathrm{h}.
  • Verificação rápida com d=1\\ \mathrm{km} (exemplo concreto): tempo subida t_{\text{sub}}=\dfrac{1}{6}\\ \mathrm{h}=10\\ \mathrm{min}; tempo descida t_{\text{desc}}=\dfrac{1}{24}\\ \mathrm{h}=2,5\\ \mathrm{min}; tempo total 12,5\\ \mathrm{min}=0,20833\\ \mathrm{h}; distância total 2\\ \mathrm{km}; velocidade média 2/0,20833\approx9,6\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}. Confere com o resultado analítico.

Resposta

\,9,6\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}

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