As funções horárias de dois trens que se movimentam em linhas paralelas são: s_{1}=k_{1}+40 . t \mathrm{e} s_{2}=k_{2}+60 . t, onde o espaço s está em quilômetros e o tempo t está em horas. Sabendo que os trens estão lado a lado no instante t=2 \mathrm{~h}, a diferença k_{2}-k_{1}, em quilômetros vale?

Passo 1

O enunciado dá as funções horárias dos dois trens:
s_1 = k_1 + 40\cdot t
s_2 = k_2 + 60\cdot t
Aqui s está em \mathrm{km} e t está em \mathrm{h}. Diz-se que os trens estão lado a lado no instante t=2\\ \mathrm{h}. A pergunta é: qual é o valor da diferença \,k_2-k_1 (em \mathrm{km})?

Passo 2

Entendendo o que cada termo significa (mini-aula curta e prática):
  • Em uma função horária do tipo \,s = s_0 + v\cdot t, o termo \,s_0 é a posição inicial no instante t=0 (em \mathrm{km}) e o número multiplicando t é a velocidade constante v (em \mathrm{km/h}).
  • Aplicando aqui: \,k_1 é a posição inicial do trem 1 em t=0 e \,40 é sua velocidade ( 40\\ \mathrm{km/h}). De forma análoga, \,k_2 é a posição inicial do trem 2 e \,60 é sua velocidade ( 60\\ \mathrm{km/h}).
  • "Lado a lado no instante t=2\\ \mathrm{h}" significa exatamente que as posições dos dois trens nesse instante são iguais, ou seja \,s_1(2)=s_2(2).

Passo 3

Escrevendo a igualdade das posições no instante t=2:
s_1(2)=s_2(2).
Substituindo t=2 em cada função:
k_1 + 40\cdot 2 = k_2 + 60\cdot 2.

Passo 4

Calculemos as multiplicações (explico passo a passo):
40\cdot 2 = 80\quad\text{e}\quad 60\cdot 2 = 120.
Substituindo na equação anterior obtemos:
k_1 + 80 = k_2 + 120.

Passo 5

Agora isolamos a diferença \,k_2-k_1. A partir de
k_1 + 80 = k_2 + 120,
subtraímos 120 de ambos os lados:
k_1 + 80 - 120 = k_2.
Isso dá
k_1 - 40 = k_2.
Subtraindo k_1 de ambos os lados para obter k_2-k_1:
-40 = k_2 - k_1.

Passo 6

Interpretação física do resultado (curta e útil para a prova): \,k_2-k_1 = -40\\ \mathrm{km} significa que, no instante t=0, o trem 2 estava 40\\ \mathrm{km} atrás do trem 1. Apesar de o trem 2 ter velocidade maior ( 60\\ \mathrm{km/h} vs 40\\ \mathrm{km/h}), eles acabaram ficando lado a lado em t=2\\ \mathrm{h} porque o trem mais rápido (trem 2) partiu de uma posição atrás do outro.

Resposta

-40\\ \mathrm{km}

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