Em um terreno retangular de 20 metros de comprimento por 12 metros de largura, será construído um jardim no formato de um semicírculo de raio máximo possível, com centro em um dos lados menores do retângulo, de forma que fique totalmente contido dentro da área. Qual será a área aproximada restante do terreno que não será ocupada pelo jardim, em metros quadrados?
a) 178,20
b) 180,90
c) 186,50
d) 183,45

Passo 1

O enunciado dá um terreno retangular com comprimento 20 metros e largura 12 metros. Será construído um jardim em formato de semicírculo, cujo centro fica em um dos lados menores do retângulo (um dos lados de comprimento 12), e o semicírculo deve ficar totalmente contido dentro do retângulo. A pergunta é: qual é a área aproximada restante do terreno que não será ocupada pelo jardim, em metros quadrados? As alternativas são:
a) 178,20
b) 180,90
c) 186,50
d) 183,45

Passo 2

Vamos modelar a situação para entender as restrições. Coloco o retângulo com o lado maior horizontal de comprimento 20 e o lado menor vertical de comprimento 12. Escolho o centro do semicírculo em um dos lados menores; por simplicidade, suponha que o centro esteja no lado esquerdo, em um ponto C=(0,y_0) com 0\le y_0\le 12. O semicírculo que fica dentro do retângulo é a metade do círculo centrado em C do lado interno do retângulo. Para obter o maior semicírculo possível, faz sentido alinhar a “aresta reta” (o diâmetro do semicírculo) com o próprio lado do retângulo onde está o centro — assim a metade plana do círculo fica exatamente sobre a borda do terreno, evitando desperdício de espaço e não forçando um raio menor por inclinação.

Passo 3

Agora escrevo as condições que garantem que o semicírculo inteiro está dentro do retângulo. Seja r o raio do semicírculo. Horizontalmente, o semicírculo atinge até a distância r para dentro do retângulo (do lado x=0 até x=r), então precisamos de
r \le 20.
Verticalmente, o círculo (e portanto o semicírculo) ocupa do ponto y_0-r até y_0+r, que deve ficar dentro do intervalo [0,12]. Assim precisamos de
y_0 - r \ge 0\quad\text{e}\quad y_0 + r \le 12,
ou seja
r \le y_0\quad\text{e}\quad r \le 12 - y_0.
Combinando, temos
r \le \min\{y_0,\,12-y_0,\,20\}.

Passo 4

Queremos o maior r possível, então escolhemos y_0 que maximize \min\{y_0,\,12-y_0\}. Como a função é simétrica, o máximo desse mínimo ocorre no ponto central do intervalo, isto é em y_0=6. Nesse caso
\min\{y_0,\,12-y_0\}=\min\{6,6\}=6.
Além disso 6 \le 20, logo a restrição horizontal não é ativa. Portanto o maior raio possível é
r=6\\ \text{metros}.

Passo 5

Calculo a área do semicírculo. A área de um círculo de raio r é \pi r^2. Como temos um semicírculo, a área do jardim é
\frac{1}{2}\pi r^2.
Substituindo r=6,
\text{Área do jardim}=\frac{1}{2}\pi\cdot 6^2 = \frac{1}{2}\pi\cdot 36 = 18\pi.Á

Passo 6

A área total do terreno retangular é
20\cdot 12 = 240\\ \text{m}^2.
Assim a área restante não ocupada pelo jardim é
240 - 18\pi.
Faço a aproximação numérica usando \pi\approx 3{,}14159265:
18\pi \approx 56{,}54866776,
logo
240 - 18\pi \approx 240 - 56{,}54866776 = 183{,}45133224.
Arredondando para duas casas decimais, a área restante é aproximadamente 183{,}45\\ \text{m}^2.

Passo 7

Comparando com as alternativas fornecidas, a opção correta é a letra d).

Resposta

d) 183,45

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