Em um terreno retangular de 20 metros de comprimento por 12 metros de largura, será construído um jardim no formato de um semicírculo de raio máximo possível, com centro em um dos lados menores do retângulo, de forma que fique totalmente contido dentro da área. Qual será a área aproximada restante do terreno que não será ocupada pelo jardim, em metros quadrados?
a) 178,20
b) 180,90
c) 186,50
d) 183,45
a) 178,20
b) 180,90
c) 186,50
d) 183,45
Passo 1
O enunciado dá um terreno retangular com comprimento
metros e largura
metros. Será construído um jardim em formato de semicírculo, cujo centro fica em um dos lados menores do retângulo (um dos lados de comprimento
), e o semicírculo deve ficar totalmente contido dentro do retângulo. A pergunta é: qual é a área aproximada restante do terreno que não será ocupada pelo jardim, em metros quadrados? As alternativas são:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 2
Vamos modelar a situação para entender as restrições. Coloco o retângulo com o lado maior horizontal de comprimento
e o lado menor vertical de comprimento
. Escolho o centro do semicírculo em um dos lados menores; por simplicidade, suponha que o centro esteja no lado esquerdo, em um ponto
com
. O semicírculo que fica dentro do retângulo é a metade do círculo centrado em
do lado interno do retângulo. Para obter o maior semicírculo possível, faz sentido alinhar a “aresta reta” (o diâmetro do semicírculo) com o próprio lado do retângulo onde está o centro — assim a metade plana do círculo fica exatamente sobre a borda do terreno, evitando desperdício de espaço e não forçando um raio menor por inclinação.
Passo 3
Agora escrevo as condições que garantem que o semicírculo inteiro está dentro do retângulo. Seja
o raio do semicírculo. Horizontalmente, o semicírculo atinge até a distância
para dentro do retângulo (do lado
até
), então precisamos de
Verticalmente, o círculo (e portanto o semicírculo) ocupa do ponto
até
, que deve ficar dentro do intervalo
. Assim precisamos de
ou seja
Combinando, temos
Passo 4
Queremos o maior
possível, então escolhemos
que maximize
. Como a função é simétrica, o máximo desse mínimo ocorre no ponto central do intervalo, isto é em
. Nesse caso
Além disso
, logo a restrição horizontal não é ativa. Portanto o maior raio possível é
Passo 5
Calculo a área do semicírculo. A área de um círculo de raio
é
. Como temos um semicírculo, a área do jardim é
Substituindo
,
Passo 6
A área total do terreno retangular é
Assim a área restante não ocupada pelo jardim é
Faço a aproximação numérica usando
:
logo
Arredondando para duas casas decimais, a área restante é aproximadamente
.
Passo 7
Comparando com as alternativas fornecidas, a opção correta é a letra d).
Resposta
d)