[1,0 \mathrm{pts}] Seja f(x, y, z)=\sin (\pi x) \cos (\pi y) e^{z} e C o segmento de reta ligando o ponto (0,1,1) ao ponto \left(\frac{1}{2}, 2,0\right). Resolva \int_{C} \nabla f \cdot d \vec{r}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{C} \nabla f\cdot d\vec r, onde foi dada a função
f(x,y,z)=\sin(\pi x)\cos(\pi y)e^{z}
e C é o segmento de reta que liga o ponto inicial (0,1,1) ao ponto final \left(\tfrac{1}{2},2,0\right).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função escalar f está explicitamente dada por \sin(\pi x)\cos(\pi y)e^{z}.
  • O campo vetorial a integrar é exatamente \nabla f (o gradiente de f).
  • A curva C é um segmento de reta, orientado de (0,1,1) para \left(\tfrac{1}{2},2,0\right).
  • A integral pedida é uma integral de linha do tipo \int_{C} \nabla f\cdot d\vec r.

Passo 2

Entendimento do conceito que vamos usar (aula rapidinha e prática).
Quando temos um campo vetorial que é o gradiente de uma função escalar f, isto é, \vec F=\nabla f, vale o chamado Teorema Fundamental para Gradientes (ou Teorema Fundamental das Integrais de Linha): a integral de linha de \nabla f ao longo de uma curva C que vai de um ponto A até um ponto B depende só dos valores de f em A e B. Em fórmula:
\int_{C}\nabla f\cdot d\vec r = f(B)-f(A).
Por que isso é verdade? Uma explicação via parametrização e regra da cadeia: se \vec r(t) é uma parametrização de C com t\in[a,b], \vec r(a)=A, \vec r(b)=B, então a função composta g(t)=f(\vec r(t)) tem derivada
g'(t)=\nabla f(\vec r(t))\cdot \vec r\,'(t).
Integrando dos extremos e usando a regra fundamental do cálculo obtemos
\int_{a}^{b}\nabla f(\vec r(t))\cdot \vec r\,'(t)\,dt = g(b)-g(a)=f(B)-f(A).
Note que isso não depende de qual curva entre A e B (contanto que \nabla f seja gradiente de f em um domínio apropriado): a integral só depende dos extremos.

Passo 3

Aplicando o teorema ao nosso problema.
Aqui o campo a integrar é exatamente \nabla f, e a curva C vai de A=(0,1,1) até B=\left(\tfrac{1}{2},2,0\right). Pelo teorema:
\int_{C}\nabla f\cdot d\vec r = f\!\left(\tfrac{1}{2},2,0\right) - f(0,1,1).
Então tudo que precisamos fazer é avaliar f nesses dois pontos.

Passo 4

Calcule f no ponto inicial A=(0,1,1).
Usando a fórmula \;f(x,y,z)=\sin(\pi x)\cos(\pi y)e^{z}\;, substituímos (x,y,z)=(0,1,1):
f(0,1,1)=\sin(\pi\cdot 0)\cos(\pi\cdot 1)e^{1}.
Agora avaliando cada fator:
\sin(\pi\cdot 0)=\sin(0)=0,
portanto todo o produto é zero, independentemente dos outros fatores. Logo
f(0,1,1)=0.

Passo 5

Calcule f no ponto final B=\left(\tfrac{1}{2},2,0\right).
Substituindo em f:
f\!\left(\tfrac{1}{2},2,0\right)=\sin\!\big(\pi\cdot\tfrac{1}{2}\big)\cos(\pi\cdot 2)e^{0}.
Avaliações:
\sin\!\big(\pi\cdot\tfrac{1}{2}\big)=\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1,
\cos(\pi\cdot 2)=\cos(2\pi)=1,
e^{0}=1.
Multiplicando os fatores: 1\cdot 1\cdot 1 = 1. Portanto
f\!\left(\tfrac{1}{2},2,0\right)=1.

Passo 6

Concluindo a integral com os valores encontrados.
Pelo Passo 3 temos
\int_{C}\nabla f\cdot d\vec r = f\!\left(\tfrac{1}{2},2,0\right)-f(0,1,1)=1-0=1.

Resposta

1

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