Seja
e
o segmento de reta ligando o ponto
ao ponto
. Resolva
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, onde foi dada a função
e
é o segmento de reta que liga o ponto inicial
ao ponto final
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função escalar
está explicitamente dada por . - O campo vetorial a integrar é exatamente
(o gradiente de ). - A curva
é um segmento de reta, orientado de para . - A integral pedida é uma integral de linha do tipo
.
Passo 2
Entendimento do conceito que vamos usar (aula rapidinha e prática).
Quando temos um campo vetorial que é o gradiente de uma função escalar
, isto é,
, vale o chamado Teorema Fundamental para Gradientes (ou Teorema Fundamental das Integrais de Linha): a integral de linha de
ao longo de uma curva
que vai de um ponto
até um ponto
depende só dos valores de
em
e
. Em fórmula:
Por que isso é verdade? Uma explicação via parametrização e regra da cadeia: se
é uma parametrização de
com
,
,
, então a função composta
tem derivada
Integrando dos extremos e usando a regra fundamental do cálculo obtemos
Note que isso não depende de qual curva entre
e
(contanto que
seja gradiente de
em um domínio apropriado): a integral só depende dos extremos.
Passo 3
Aplicando o teorema ao nosso problema.
Aqui o campo a integrar é exatamente
, e a curva
vai de
até
. Pelo teorema:
Então tudo que precisamos fazer é avaliar
nesses dois pontos.
Passo 4
Calcule
no ponto inicial
.
Usando a fórmula
, substituímos
:
Agora avaliando cada fator:
portanto todo o produto é zero, independentemente dos outros fatores. Logo
Passo 5
Calcule
no ponto final
.
Substituindo em
:
Avaliações:
Multiplicando os fatores:
. Portanto
Passo 6
Concluindo a integral com os valores encontrados.
Pelo Passo 3 temos
Resposta
1