Uma dívida no valor de \mathrm{R} \ 140.000,00 pode ser paga em 8 parcelas iguais vencendo a primeira daqui a um mês. Supondo-se uma taxa de juros deê3 %$ ao mês, calcule o valor das parcelas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta:
  • Valor atual da dívida (valor presente): PV=\mathrm{R}\$140.000,00.
  • Número de parcelas: n=8.
  • A primeira parcela vence daqui a um mês e as demais mensalmente — ou seja, são pagamentos no final de cada período (anuidade ordinária).
  • Taxa de juros mensal: i=3\%=0,03.
  • Pergunta: calcular o valor da parcela constante (denotada por PMT) que paga a dívida.

Passo 2

Conceito que usamos (explicado passo a passo, sem pular etapas):
Quando temos uma série de pagamentos iguais PMT feitos ao final de cada período por n períodos, o valor presente PV desses pagamentos (à taxa por período i) é dado pela soma das parcelas descontadas. Essa soma é uma série geométrica:
PV = PMT\cdot \left(\frac{1}{1+i} + \frac{1}{(1+i)^2} + \cdots + \frac{1}{(1+i)^n}\right).
Explicando cada termo:
  • Cada parcela PMT paga no final do mês k tem valor presente PMT/(1+i)^k — porque para trazer um valor futuro para o presente divide-se por (1+i)^k.
  • Somando para k=1 até n obtém-se a soma geométrica acima.
A soma dessa série geométrica tem fórmula conhecida:
\frac{1}{1+i} + \frac{1}{(1+i)^2} + \cdots + \frac{1}{(1+i)^n} = \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Portanto:
PV = PMT\cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.

Passo 3

Isolamos PMT para achar o valor da parcela:
PMT = PV\cdot \frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.
Aqui:
  • PV é o valor presente (dívida) que conhecemos.
  • i é a taxa por período.
  • n é o número de parcelas.
    Essa fórmula é a que vamos usar.

Passo 4

Agora substituímos os valores do problema na fórmula. Reescrevendo com os números dados:
PMT = \mathrm{R}\$140.000,00 \cdot \frac{0,03}{1-(1+0,03)^{-8}}.
Vou calcular passo a passo cada parte numérica para você poder fazer na prova sem calculadora (com multiplicações sucessivas).

Passo 5

Calcular (1+0,03)^k passo a passo para k=1,\dots,8:
\begin{aligned} (1+0,03)^1 &= 1,03,\\\ (1,03)^2 &= 1,0609,\\\ (1,03)^3 &= 1,092727,\\\ (1,03)^4 &= 1,12550881,\\\ (1,03)^5 &= 1,1592740743,\\\ (1,03)^6 &= 1,194052296529,\\\ (1,03)^7 &= 1,22987386542487,\\\ (1,03)^8 &= 1,2667700813876161. \end{aligned}
Esses valores resultam de multiplicar sucessivamente por 1,03 — por exemplo 1,03^3 = 1,03^2\cdot 1,03 = 1,0609\cdot 1,03 = 1,092727, e assim por diante.

Passo 6

Calcular (1+0,03)^{-8}, que é o inverso de (1,03)^8:
(1,03)^{-8} = \frac{1}{1,2667700813876161}\approx 0,789409232.
Usei aqui a inversão do número obtido no passo anterior; na prova você pode usar uma calculadora para essa divisão ou, se não puder, uma aproximação por iterações. O importante é entender que este número é menor que 1 porque estamos trazendo montantes futuros ao presente.

Passo 7

Calcular 1-(1+0,03)^{-8}:
1-(1,03)^{-8} \approx 1 - 0,789409232 = 0,210590768.
Agora dividimos pela taxa i=0,03 (ou multiplicamos por 1/0,03) para obter o fator da anuidade:
\frac{1-(1+0,03)^{-8}}{0,03} \approx \frac{0,210590768}{0,03} = 7,019692266666667.
Esse valor \approx 7,01969227 é o fator que, multiplicado por PMT, dá o valor presente PV.

Passo 8

Finalmente calculamos PMT usando a fórmula isolada:
PMT = \frac{PV}{\dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}} = \frac{140.000}{7,019692266666667}.
Efetuando a divisão:
PMT \approx \mathrm{R}\$19.943,92.
Arredondei para centavos (duas casas decimais), como se costuma fazer em problemas de capitalização financeira.

Passo 9

Verificação rápida (para confiar no resultado): se PMT\approx\mathrm{R}\$19.943,92 e o fator anuidade é \approx 7,01969227, então
PMT\cdot 7,01969227 \approx 19.943,92 \times 7,01969227 \approx 140.000
(o que reconfirma que a parcela encontrada paga a dívida de \mathrm{R}\$140.000,00 nas condições dadas).

Resposta

\mathrm{R}\$19.943,92

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