Uma dívida no valor de
140.000,00
3 %$ ao mês, calcule o valor das parcelas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta:
- Valor atual da dívida (valor presente):
. - Número de parcelas:
. - A primeira parcela vence daqui a um mês e as demais mensalmente — ou seja, são pagamentos no final de cada período (anuidade ordinária).
- Taxa de juros mensal:
. - Pergunta: calcular o valor da parcela constante (denotada por
) que paga a dívida.
Passo 2
Conceito que usamos (explicado passo a passo, sem pular etapas):
Quando temos uma série de pagamentos iguais
feitos ao final de cada período por
períodos, o valor presente
desses pagamentos (à taxa por período
) é dado pela soma das parcelas descontadas. Essa soma é uma série geométrica:
Explicando cada termo:
- Cada parcela
paga no final do mês tem valor presente — porque para trazer um valor futuro para o presente divide-se por . - Somando para
até obtém-se a soma geométrica acima.
A soma dessa série geométrica tem fórmula conhecida:
Portanto:
Passo 3
Isolamos
para achar o valor da parcela:
Aqui:
-
é o valor presente (dívida) que conhecemos. -
é a taxa por período. -
é o número de parcelas.
Essa fórmula é a que vamos usar.
Passo 4
Agora substituímos os valores do problema na fórmula. Reescrevendo com os números dados:
Vou calcular passo a passo cada parte numérica para você poder fazer na prova sem calculadora (com multiplicações sucessivas).
Passo 5
Calcular
passo a passo para
:
Esses valores resultam de multiplicar sucessivamente por
— por exemplo
, e assim por diante.
Passo 6
Calcular
, que é o inverso de
:
Usei aqui a inversão do número obtido no passo anterior; na prova você pode usar uma calculadora para essa divisão ou, se não puder, uma aproximação por iterações. O importante é entender que este número é menor que 1 porque estamos trazendo montantes futuros ao presente.
Passo 7
Calcular
:
Agora dividimos pela taxa
(ou multiplicamos por
) para obter o fator da anuidade:
Esse valor
é o fator que, multiplicado por
, dá o valor presente
.
Passo 8
Finalmente calculamos
usando a fórmula isolada:
Efetuando a divisão:
Arredondei para centavos (duas casas decimais), como se costuma fazer em problemas de capitalização financeira.
Passo 9
Verificação rápida (para confiar no resultado): se
e o fator anuidade é
, então
(o que reconfirma que a parcela encontrada paga a dívida de
nas condições dadas).