Test for exactness. If exact, solve. If not, use an integrating factor as given or obtained by inspection or by the theorems in the text. Also, if an initial condition is given, find the corresponding particular solution.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
. O conteúdo é teste de exatidão e, se necessário, uso de fator de integração para equações diferenciais exatas.
Passo 2
Podemos dividir toda a equação por
, que é constante não nula, obtendo
Aqui temos
e
.
Passo 3
Testamos exatidão: calculamos
Como não são iguais, a equação não é exata.
Passo 4
Procuramos um fator de integração que dependa só de
. Usamos a fórmula
Então
Passo 5
Multiplicamos a equação por
:
Agora
e
, e verificamos que
logo é exata.
Passo 6
Construímos a função potencial
tal que
Depois,
Assim
Passo 7
A solução geral vem de
, ou seja,
e isolando
dá
com
.
Passo 8
Portanto, a solução geral da equação diferencial é
onde
é constante arbitrária.
Resposta
r = C e^{-3\theta}