Test for exactness. If exact, solve. If not, use an integrating factor as given or obtained by inspection or by the theorems in the text. Also, if an initial condition is given, find the corresponding particular solution.
e^30(d r+3 r d theta)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e^30(,dr + 3r,dtheta)=0. O conteúdo é teste de exatidão e, se necessário, uso de fator de integração para equações diferenciais exatas.

Passo 2

Podemos dividir toda a equação por e^30, que é constante não nula, obtendo
dr + 3r,dtheta = 0
Aqui temos M(r,theta)=1 e N(r,theta)=3r.

Passo 3

Testamos exatidão: calculamos
partial Mpartial theta=0, partial Npartial r=3
Como não são iguais, a equação não é exata.

Passo 4

Procuramos um fator de integração que dependa só de r. Usamos a fórmula
f(r)=partial Mpartial theta-partial Npartial rN =0-33r=-1r
Então
mu(r)=expgl(integral f(r),drgr)=expl(-ln|r|r)=1r

Passo 5

Multiplicamos a equação por mu(r)=1/r:
1r,dr + 3,dtheta = 0
Agora M̃(r,theta)=1/r e Ñ(r,theta)=3, e verificamos que
partial M̃partial theta=0=partial Ñpartial r,
logo é exata.

Passo 6

Construímos a função potencial Psi(r,theta) tal que
partial Psipartial r=1r Longrightarrow Psi=ln|r|+g(theta)
Depois,
partial Psipartial theta=g'(theta)=3 Longrightarrow g(theta)=3theta
Assim
Psi(r,theta)=ln|r|+3theta

Passo 7

A solução geral vem de Psi(r,theta)=C, ou seja,
ln|r|+3theta = C
e isolando r
r = C'e^-3theta,
com C'=e^C.

Passo 8

Portanto, a solução geral da equação diferencial é
r = C,e^-3theta,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

r = C e^{-3\theta}

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