Test for exactness. If exact, solve. If not, use an integrating factor as given or obtained by inspection or by the theorems in the text. Also, if an initial condition is given, find the corresponding particular solution.
2 x y d x+x^2 d y=0

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos a equação diferencial 2xy,dx + x^2,dy = 0. O objetivo é verificar se a equação é exata. Se for, resolver; se não, encontrar um fator integrante para torná-la exata e então resolver. Vamos precisar entender o que são equações diferenciais exatas e como aplicar fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, reescrevemos a equação na forma M,dx + N,dy = 0, onde M = 2xy e N = x^2.

Passo 3

Uma equação diferencial M,dx + N,dy = 0 é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x. Vamos calcular:
partial Mpartial y = partialpartial y(2xy) = 2x
e
partial Npartial x = partialpartial x(x^2) = 2x

Passo 4

Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a equação é exata.

Passo 5

Agora, para resolver a equação exata, precisamos encontrar uma função F(x,y) tal que:
partial Fpartial x = M = 2xy
Vamos integrar M em relação a x:
F(x,y) = integral 2xy,dx = x^2y + h(y)
onde h(y) é uma função de y.

Passo 6

Agora, derivamos F(x,y) em relação a y e igualamos a N:
partial Fpartial y = x^2 + h'(y) = N = x^2
Isso implica que h'(y) = 0, portanto h(y) é uma constante, que podemos chamar de C.

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é dada por:
F(x,y) = x^2y + C = 0

Resposta

A solução geral da equação diferencial é x^2y = C, onde C é uma constante.

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