Test for exactness. If exact, solve. If not, use an integrating factor as given or obtained by inspection or by the theorems in the text. Also, if an initial condition is given, find the corresponding particular solution.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Temos a equação diferencial
. O objetivo é verificar se a equação é exata. Se for, resolver; se não, encontrar um fator integrante para torná-la exata e então resolver. Vamos precisar entender o que são equações diferenciais exatas e como aplicar fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, reescrevemos a equação na forma
, onde
e
.
Passo 3
Uma equação diferencial
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular:
e
Passo 4
Como
, a equação é exata.
Passo 5
Agora, para resolver a equação exata, precisamos encontrar uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
onde
é uma função de
.
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, portanto
é uma constante, que podemos chamar de
.
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é dada por:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.