Test for exactness. If exact, solve. If not, use an integrating factor as given or obtained by inspection or by the theorems in the text. Also, if an initial condition is given, find the corresponding particular solution.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial: $ x^{3} , dx + y^{3} , dy = 0 $. O que a gente vai fazer aqui envolve verificar se essa equação é exata, ou seja, se conseguimos encontrar uma função que, ao derivar, nos dá exatamente essa equação. Se for exata, resolvemos direto; se não, precisamos achar um fator integrante para facilitar a resolução. Vamos precisar usar derivadas parciais e entender o conceito de equações diferenciais exatas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação da forma $ M(x,y) , dx + N(x,y) , dy = 0 $ é exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. No nosso caso:
- $ M(x,y) = x^{3} $
- $ N(x,y) = y^{3} $
Vamos calcular as derivadas parciais:
Comparando, temos $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} = 0 $. Como são iguais, a equação é exata!
Passo 3
Como a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial $ F(x,y) $ tal que:
Para encontrar $ F(x,y) $, vamos integrar $ M $ em relação a $ x $:
Aqui, $ h(y) $ é uma função de $ y $ que ainda precisamos determinar. Agora, vamos derivar $ F(x,y) $ em relação a $ y $ e igualar à $ N $:
Integrando $ h’(y) $ em relação a $ y $:
Onde $ C $ é a constante de integração. Portanto, a função potencial completa é:
Passo 4
A solução geral da equação diferencial é obtida igualando $ F(x,y) $ a uma constante. Assim:
Podemos simplificar multiplicando todos os termos por 4:
Como $ 4C $ também é uma constante, podemos apenas chamar de $ C $ para simplificar:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é $ x^{4} + y^{4} = C $, onde $ C $ é uma constante.