Test for exactness. If exact, solve. If not, use an integrating factor as given or obtained by inspection or by the theorems in the text. Also, if an initial condition is given, find the corresponding particular solution.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou trata de testar se uma equação diferencial é exata e, se for, resolvê-la. Se não for exata, precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como verificar isso. Vamos usar derivadas parciais e um pouco de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação diferencial. A equação dada é:
Podemos reescrever isso na forma padrão:
onde:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial na forma $ M , dx + N , dy = 0 $ é exata se satisfizer a condição:
Vamos calcular cada lado dessa igualdade.
Passo 4
Primeiro, calculamos
:
Passo 5
Agora, calculamos
:
Passo 6
Comparamos os resultados:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função $ F(x, y) $ tal que:
Passo 7
Agora, vamos encontrar essa função $ F(x, y) $. Para isso, integramos $ M $ em relação a $ x $:
Aqui, $ h(y) $ é uma função arbitrária de $ y $ que surge da integração.
Passo 8
Para determinar $ h(y) $, derivamos $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N $:
Isso nos dá:
Subtraindo $ \sin x \sin y $ de ambos os lados:
No entanto, percebemos que houve um erro na derivação. Na verdade, ao derivar $ F(x, y) = -\cos x \cos y + h(y) $ em relação a $ y $, temos:
Igualando a $ N(x, y) = \cos x \sin y $:
Isso simplifica para:
Passo 9
Integrando $ h’(y) = 0 $, encontramos que $ h(y) = C $, onde $ C $ é uma constante de integração.
Portanto, a função potencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C $ é uma constante real.