Test for exactness. If exact, solve. If not, use an integrating factor as given or obtained by inspection or by the theorems in the text. Also, if an initial condition is given, find the corresponding particular solution.
Passo 1
Temos a equação diferencial na forma
, com
$$M(x,y)=e^{-y},\quad N(x,y)=e{-x}\bigl(-e{-y}+1\bigr).
$$
O conteúdo aqui é EDOs exatas e uso de fator integrante.
O conteúdo aqui é EDOs exatas e uso de fator integrante.
Passo 2
Para testar exatidão, calculamos
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
O enunciado sugere o fator integrante
. Multiplicando toda a equação por
obtemos
Passo 4
Na equação ajustada temos
Verificamos exatidão:
.
Passo 5
Para resolver a exata, integramos
em relação a
:
Passo 6
Em seguida cobrimos a condição
:
Logo
Passo 7
A função potencial completa é
portanto a solução implícita geral é
Resposta
$ex+ey - y = C$