Test for exactness. If exact, solve. If not, use an integrating factor as given or obtained by inspection or by the theorems in the text. Also, if an initial condition is given, find the corresponding particular solution.
e^-y d x+e^-x(-e^-y+1) d y=0, F=e^x+y

Passo 1

Temos a equação diferencial na forma M(x,y),dx+N(x,y),dy=0, com
$$M(x,y)=e^{-y},\quad N(x,y)=e{-x}\bigl(-e{-y}+1\bigr).
$$
O conteúdo aqui é EDOs exatas e uso de fator integrante.

Passo 2

Para testar exatidão, calculamos
partial Mpartial y=-e^-y,
partial Npartial x=ddxl(-e^-x-y+e^-xr)=e^-x-y-e^-x
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

O enunciado sugere o fator integrante F(x,y)=e^x+y. Multiplicando toda a equação por e^x+y obtemos
e^x,dx+(e^y-1),dy=0

Passo 4

Na equação ajustada temos
M^*(x,y)=e^x, N^*(x,y)=e^y-1
Verificamos exatidão: partial M^*/partial y=0=partial N^*/partial x.

Passo 5

Para resolver a exata, integramos M^* em relação a x:
psi(x,y)=integral e^x,dx=e^x+h(y)

Passo 6

Em seguida cobrimos a condição partialpsi/partial y=N^*:
h'(y)=e^y-1
Logo
h(y)=integral(e^y-1),dy=e^y-y+C

Passo 7

A função potencial completa é
psi(x,y)=e^x+e^y-y,
portanto a solução implícita geral é
e^x+e^y-y=C

Resposta

$ex+ey - y = C$

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