Test for exactness. If exact, solve. If not, use an integrating factor as given or obtained by inspection or by the theorems in the text. Also, if an initial condition is given, find the corresponding particular solution.
,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
pede para testar exatidão, usar o fator integrante
se necessário, e aplicar a condição inicial
. Vamos usar teoria de equações exatas e fator integrante.
Passo 2
Identificamos as funções
Para ser exata precisamos de
Calculando
Concluímos que a equação é exata somente se
, ou seja
. Caso contrário não é exata.
Passo 3
Vendo que em geral
, usamos o fator integrante dado
Multiplicando a equação original por
temos a nova equação
que verifica
logo a equação tornada exata.
Passo 4
Agora construímos a função potencial
tal que
Integrando em relação a
:
Derivando em relação a
e igualando a
:
implica
, logo
é constante.
Passo 5
A solução implícita geral fica
Usando a condição inicial
obtemos
Passo 6
Isolando
na solução particular: