Test for exactness. If exact, solve. If not, use an integrating factor as given or obtained by inspection or by the theorems in the text. Also, if an initial condition is given, find the corresponding particular solution.
(a+1) y d x+(b+1) x d y=0, y(1)=1, F=x^a y^b

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(a+1)y,dx + (b+1)x,dy = 0,
pede para testar exatidão, usar o fator integrante
F = x^a y^b se necessário, e aplicar a condição inicial y(1)=1. Vamos usar teoria de equações exatas e fator integrante.

Passo 2

Identificamos as funções
M(x,y) = (a+1)y,
N(x,y) = (b+1)x
Para ser exata precisamos de
partial Mpartial y = partial Npartial x
Calculando
My = a+1,
Nx = b+1
Concluímos que a equação é exata somente se a+1 = b+1, ou seja a=b. Caso contrário não é exata.

Passo 3

Vendo que em geral aneq b, usamos o fator integrante dado
mu(x,y) = x^a y^b
Multiplicando a equação original por mu temos a nova equação
mu M,dx + mu N,dy = (a+1)x^a y^b+1,dx + (b+1)x^a+1y^b,dy = 0
que verifica
partialpartial yl( (a+1)x^a y^b+1 r) = (a+1)(b+1)x^a y^b = partialpartial xl( (b+1)x^a+1y^b r),
logo a equação tornada exata.

Passo 4

Agora construímos a função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = (a+1)x^a y^b+1
Integrando em relação a x:
Psi(x,y) = integral (a+1)x^a y^b+1,dx = x^a+1y^b+1 + g(y)
Derivando em relação a y e igualando a mu N:
partial Psipartial y = (b+1)x^a+1y^b + g'(y) = (b+1)x^a+1y^b
implica g'(y)=0, logo g é constante.

Passo 5

A solução implícita geral fica
x^a+1y^b+1 = C
Usando a condição inicial y(1)=1 obtemos
1^a+1cdot1^b+1 = C implies C = 1

Passo 6

Isolando y na solução particular:
y^b+1 = x^-(a+1)
y = x^-a+1b+1

Resposta

y = x^-a+1b+1

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