Test a série quanto a convergência ou divergência (alternada)
sum(-1)^n ln nn

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente verificar se a série alternada sum (-1)^n ln nn converge ou diverge. Isso envolve entender sobre séries alternadas, que são aquelas onde os termos mudam de sinal. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Série Alternada e também verificar a convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série alternada. Nesse caso, a série é sum (-1)^n ln nn, onde os sinais dos termos alternam entre positivo e negativo por causa do (-1)^n.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que nos ajuda a determinar se uma série alternada converge. Esse teste tem três condições:
  1. Os termos bn = ln nn devem ser positivos.
  2. A sequência bn deve ser decrescente.
  3. O limite de bn quando n tende ao infinito deve ser zero.

Passo 4

Vamos verificar cada condição:
  1. Positividade: Para todo n > 1, ln n > 0 e n > 0, então ln nn > 0.
  2. Decrescimento: Vamos ver se bn = ln nn está diminuindo. Calculando a derivada de b(n) = ln nn:
    b'(n) = 1 cdot n - ln n cdot 1n^2 = n - ln nn^2
    Para n > e (onde e approx 2,718), n - ln n > 0, então b'(n) > 0. Mas queremos que seja decrescente. Na verdade, para n > e, b(n) começa a diminuir porque o crescimento de n no denominador domina o crescimento lento de ln n.
  3. Limite: Calculamos limn to infty ln nn. Sabemos que ln n cresce mais devagar que n, então:
    limn to infty ln nn = 0

Passo 5

Como todas as três condições do Teste da Série Alternada são atendidas, podemos concluir que a série sum (-1)^n ln nn converge.

Passo 6

Agora, vamos verificar se a série converge absolutamente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
sum | (-1)^n ln nn | = sum ln nn
Precisamos ver se essa série converge.

Passo 7

Vamos usar o Teste da Integral para verificar a convergência de sum ln nn. Consideramos a integral:
integral2^infty ln xx , dx
Fazendo a substituição u = ln x, temos du = 1x dx, então a integral se torna:
integralu= ln 2^infty u , du = [ u^22 ]ln 2^infty = infty
Como a integral diverge, a série sum ln nn também diverge.

Resposta

A série sum (-1)^n ln nn converge condicionalmente.

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