Test a série quanto a convergência ou divergência (alternada)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente verificar se a série alternada converge ou diverge. Isso envolve entender sobre séries alternadas, que são aquelas onde os termos mudam de sinal. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Série Alternada e também verificar a convergência absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série alternada. Nesse caso, a série é , onde os sinais dos termos alternam entre positivo e negativo por causa do .
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que nos ajuda a determinar se uma série alternada converge. Esse teste tem três condições:
Os termos devem ser positivos.
A sequência deve ser decrescente.
O limite de quando tende ao infinito deve ser zero.
Passo 4
Vamos verificar cada condição:
Positividade: Para todo , e , então .
Decrescimento: Vamos ver se está diminuindo. Calculando a derivada de :
Para (onde ), , então . Mas queremos que seja decrescente. Na verdade, para , começa a diminuir porque o crescimento de no denominador domina o crescimento lento de .
Limite: Calculamos . Sabemos que cresce mais devagar que , então:
Passo 5
Como todas as três condições do Teste da Série Alternada são atendidas, podemos concluir que a série converge.
Passo 6
Agora, vamos verificar se a série converge absolutamente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
Precisamos ver se essa série converge.
Passo 7
Vamos usar o Teste da Integral para verificar a convergência de sum ln nn. Consideramos a integral:
integral2^infty ln xx , dx
Fazendo a substituição u = ln x, temos du = 1x dx, então a integral se torna:
integralu= ln 2^infty u , du = [ u^22 ]ln 2^infty = infty
Como a integral diverge, a série sum ln nn também diverge.
Resposta
A série sum (-1)^n ln nnconverge condicionalmente.