Em 5 lançamentos com um dado perfeito, qual a probabilidade de ocorrer 4 vezes a face 5 .
Resp.:
ou
.
Passo 1
Enunciado: Em 5 lançamentos com um dado perfeito, qual a probabilidade de ocorrer 4 vezes a face 5.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- Número de lançamentos:
. - “Sucesso” = sair a face 5 em um lançamento.
- Probabilidade de sucesso em um lançamento:
(dado perfeito). - Probabilidade de “falha” (não sair 5) em um lançamento:
. - Queremos a probabilidade de exatamente
sucessos (quatro vezes a face 5) em lançamentos.
Passo 2
Intuição combinatória (por que o problema é assim):
- Se fixarmos quais 4 lançamentos deram 5 e qual deu diferente de 5, a probabilidade dessa sequência específica ocorrer é
, porque os lançamentos são independentes e multiplicamos as probabilidades. - Mas há várias maneiras (várias posições) de escolher quais 4 dos 5 lançamentos foram 5. O número de escolhas de 4 posições entre 5 é o coeficiente binomial
. - Portanto devemos multiplicar a probabilidade de uma sequência por
.
Passo 3
Fórmula do modelo binomial (é exatamente o que usamos aqui):
onde:
-
é a probabilidade de obter exatamente sucessos em ensaios independentes; -
é o número de maneiras de escolher quais ensaios são sucessos; -
é a probabilidade de sucesso em cada ensaio; -
é a probabilidade de falha em cada ensaio.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso com
,
e
:
Agora vamos calcular cada parte passo a passo.
Passo 5
Calcular o coeficiente binomial:
Calcular a potência:
Multiplicar pela parte de falha:
Agora multiplicar pelo número de maneiras:
Passo 6
Interpretação e conversão para percentagem:
- A fração
não simplifica (máximo divisor comum é 1). - Transformando em decimal:
. - Em porcentagem:
.
Um exemplo menor para fixar a ideia: em 3 lançamentos de moeda justa, a probabilidade de exatamente 2 caras é
. Aqui usamos o mesmo raciocínio: escolher posições das caras e multiplicar probabilidades.