Em 5 lançamentos com um dado perfeito, qual a probabilidade de ocorrer 4 vezes a face 5 .
Resp.: 5 / 7776 ou 0,064 \%.

Passo 1

Enunciado: Em 5 lançamentos com um dado perfeito, qual a probabilidade de ocorrer 4 vezes a face 5.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • Número de lançamentos: n=5.
  • “Sucesso” = sair a face 5 em um lançamento.
  • Probabilidade de sucesso em um lançamento: p=\tfrac{1}{6} (dado perfeito).
  • Probabilidade de “falha” (não sair 5) em um lançamento: 1-p=\tfrac{5}{6}.
  • Queremos a probabilidade de exatamente k=4 sucessos (quatro vezes a face 5) em n=5 lançamentos.

Passo 2

Intuição combinatória (por que o problema é assim):
  • Se fixarmos quais 4 lançamentos deram 5 e qual deu diferente de 5, a probabilidade dessa sequência específica ocorrer é (\tfrac{1}{6})^4(\tfrac{5}{6}), porque os lançamentos são independentes e multiplicamos as probabilidades.
  • Mas há várias maneiras (várias posições) de escolher quais 4 dos 5 lançamentos foram 5. O número de escolhas de 4 posições entre 5 é o coeficiente binomial \binom{5}{4}.
  • Portanto devemos multiplicar a probabilidade de uma sequência por \binom{5}{4}.

Passo 3

Fórmula do modelo binomial (é exatamente o que usamos aqui):
\Pr(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}
onde:
  • \Pr(X=k) é a probabilidade de obter exatamente k sucessos em n ensaios independentes;
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k ensaios são sucessos;
  • p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio;
  • 1-p é a probabilidade de falha em cada ensaio.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso com n=5, k=4 e p=\tfrac{1}{6}:
\Pr(X=4)=\binom{5}{4}\left(\tfrac{1}{6}\right)^{4}\left(\tfrac{5}{6}\right)^{1}.
Agora vamos calcular cada parte passo a passo.

Passo 5

Calcular o coeficiente binomial:
\binom{5}{4}=5.
Calcular a potência:
\left(\tfrac{1}{6}\right)^{4}=\tfrac{1}{6^{4}}=\tfrac{1}{1296}.
Multiplicar pela parte de falha:
\left(\tfrac{1}{6}\right)^{4}\left(\tfrac{5}{6}\right)=\tfrac{1}{1296}\cdot\tfrac{5}{6}=\tfrac{5}{7776}.
Agora multiplicar pelo número de maneiras:
\Pr(X=4)=5\cdot \tfrac{5}{7776}=\tfrac{25}{7776}.

Passo 6

Interpretação e conversão para percentagem:
  • A fração \tfrac{25}{7776} não simplifica (máximo divisor comum é 1).
  • Transformando em decimal: \tfrac{25}{7776}\approx 0{,}00321502.
  • Em porcentagem: 0{,}00321502\cdot 100\% \approx 0{,}3215\%.
Um exemplo menor para fixar a ideia: em 3 lançamentos de moeda justa, a probabilidade de exatamente 2 caras é \binom{3}{2}(1/2)^2(1/2)^1=3\cdot\tfrac{1}{8}=\tfrac{3}{8}. Aqui usamos o mesmo raciocínio: escolher posições das caras e multiplicar probabilidades.

Resposta

\dfrac{25}{7776}
\approx 0{,}3215\%

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