Teste 11 Considere o subespaço U_{1} de \mathbb{R}^{4} dado pelo conjunto das soluções ( x, y, z, w ) do sistema linear homogêneo
\left\{\begin{array}{l} x-2 y+3 z+2 w=0, \\\\ 3 x-2 y-z=0, \\\\ 5 x-4 y+w=0, \end{array}\right.
e o subespaço U_{2} de \mathbb{R}^{4} dado por:
U_{2}=[(1,2,-1,3),(1,-2,1,2),(1,10,-5,5)] .
Assinale a alternativa correta:
A \operatorname{dim}\left(U_{1}\right)=1, \operatorname{dim}\left(U_{2}\right)=3 e (1,-1,5,-9) \notin U_{1}
B \operatorname{dim}\left(U_{1}\right)=2, \operatorname{dim}\left(U_{2}\right)=2 \mathrm{e}(1,-1,5,-9) \notin U_{1}
C \operatorname{dim}\left(U_{1}\right)=2, \operatorname{dim}\left(U_{2}\right)=3 e (1,-1,5,-9) \in U_{1}
D \operatorname{dim}\left(U_{1}\right)=2, \operatorname{dim}\left(U_{2}\right)=2 e (1,-1,5,-9) \in U_{1}
(J) \operatorname{dim}\left(U_{1}\right)=1, \operatorname{dim}\left(U_{2}\right)=2 \mathrm{e}(1,-1,5,-9) \in U_{1}

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de \mathbb{R}^{4} e pede para identificar dimensões e pertença de um vetor. Informações fornecidas:
  • U_{1} é o conjunto das soluções (x,y,z,w) do sistema homogêneo
\left\{\begin{array}{l} x-2y+3z+2w=0,\\[4pt] 3x-2y-z=0,\\[4pt] 5x-4y+w=0, \end{array}\right.
  • U_{2}=\operatorname{span}\{(1,2,-1,3),\,(1,-2,1,2),\,(1,10,-5,5)\}.
  • Precisa-se determinar \dim(U_{1}), \dim(U_{2}) e se o vetor (1,-1,5,-9) pertence a U_{1}.]

Passo 2

Vamos achar \dim(U_{1}) encontrando a posto (rank) da matriz dos coeficientes e aplicando o teorema da dimensão do núcleo (rank–nullity). A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 2\\[4pt] 3 & -2 & -1 & 0\\[4pt] 5 & -4 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Explicação curta (teorema usado): para uma matriz A com 4 colunas, se \operatorname{rank}(A)=r então a dimensão do espaço solução (núcleo) é 4-r. Aqui o núcleo é exatamente U_{1}.
Vamos reduzir A por eliminação de Gauss (mostrar operações para que você repita na prova):
Partimos de
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 2\\[4pt] 3 & -2 & -1 & 0\\[4pt] 5 & -4 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Elimine abaixo do pivô da primeira linha:
  • R_{2}\leftarrow R_{2}-3R_{1}:
R_{2}:\; (3,-2,-1,0)-3(1,-2,3,2)=(0,4,-10,-6).
  • R_{3}\leftarrow R_{3}-5R_{1}:
R_{3}:\; (5,-4,0,1)-5(1,-2,3,2)=(0,6,-15,-9).
Agora a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 2\\[4pt] 0 & 4 & -10 & -6\\[4pt] 0 & 6 & -15 & -9 \end{pmatrix}.
Divida a segunda linha por 2 para facilitar:
R_{2}\leftarrow \tfrac{1}{2}R_{2} \Rightarrow (0,2,-5,-3).
Elimine o elemento 6 na terceira linha usando R_{3}\leftarrow R_{3}-3R_{2}:
R_{3}:\; (0,6,-15,-9)-3(0,2,-5,-3)=(0,0,0,0).
Ficamos com
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 2\\[4pt] 0 & 2 & -5 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Há dois pivôs (colunas com pivôs), logo \operatorname{rank}(A)=2.]

Passo 3

Pelo teorema da dimensão do núcleo (rank–nullity) em \mathbb{R}^{4},
\dim(U_{1})=\dim(\ker A)=4-\operatorname{rank}(A)=4-2=2.
Breve explicação didática: o posto conta quantas colunas independentes a matriz tem (ou quantas equações efetivamente independentes), e as colunas restantes correspondem a variáveis livres; o número de variáveis livres é a dimensão do espaço solução.
Para ajudar a entender a estrutura das soluções (útil para resolver pertença): a partir das linhas reduzidas as equações equivalentes são
\begin{aligned} x-2y+3z+2w&=0,\\[4pt] 2y-5z-3w&=0. \end{aligned}
Da segunda equação 2y=5z+3w logo
y=\tfrac{5}{2}z+\tfrac{3}{2}w.
Substituindo na primeira:
x=2y-3z-2w=2\!\left(\tfrac{5}{2}z+\tfrac{3}{2}w\right)-3z-2w=2z+w.
Assim a solução geral é
(x,y,z,w)=(2z+w,\;\tfrac{5}{2}z+\tfrac{3}{2}w,\;z,\;w),
ou escrita como combinação linear das direções livres:
(x,y,z,w)=z\,(2,\tfrac{5}{2},1,0)+w\,(1,\tfrac{3}{2},0,1).
Isso confirma que a dimensão é 2.]

Passo 4

Verificar se (1,-1,5,-9)\in U_{1} é simples: basta substituir nas equações originais e checar se são satisfeitas.
Substituindo (x,y,z,w)=(1,-1,5,-9) nas três equações:
\begin{aligned} x-2y+3z+2w&=1-2(-1)+3\cdot5+2(-9)=1+2+15-18=0,\\[4pt] 3x-2y-z&=3\cdot1-2(-1)-5=3+2-5=0,\\[4pt] 5x-4y+w&=5\cdot1-4(-1)+(-9)=5+4-9=0. \end{aligned}
Todas são satisfeitas, portanto (1,-1,5,-9)\in U_{1}.
(Observação alternativa usando a parametrização: pelo parâmetro z temos z=5 e pelo parâmetro w temos w=-9; esses valores levam a x=2z+w=1 e y=\tfrac{5}{2}z+\tfrac{3}{2}w=-1, confirmando a pertença.)]

Passo 5

Agora \dim(U_{2})\). Denote os vetores \[v_{1}=(1,2,-1,3),\quad v_{2}=(1,-2,1,2),\quad v_{3}=(1,10,-5,5).
Testamos se são linearmente independentes verificando se v_{3} é combinação de v_{1} e v_{2}. Procura-se a,b tais que a v_{1}+b v_{2}=v_{3}. Das primeiras duas coordenadas obtemos o sistema
\begin{cases} a+b=1,\\[4pt] 2a-2b=10. \end{cases}
Da segunda equação a-b=5\]. Resolver \[a+b=1,\qquad a-b=5\] leva a \(a=3 e b=-2. Verificando as demais coordenadas:
-1\cdot a + 1\cdot b = -3+(-2)=-5\quad\text{(terceira coord.)},
3\cdot a + 2\cdot b =9-4=5\quad\text{(quarta coord.)},
que coincidem com v_{3}. Logo v_{3}=3v_{1}-2v_{2}, ou seja, os três vetores são linearmente dependentes e v_{1},v_{2} são independentes entre si (não são múltiplos um do outro). Portanto
\dim(U_{2})=2.
Explicação curta: a dimensão do subespaço gerado por vetores é o número máximo de vetores linearmente independentes entre eles; aqui apenas dois são necessários para gerar os três.]

Passo 6

Resumindo as conclusões que usaremos para escolher a alternativa correta:
  • \dim(U_{1})=2.
  • \dim(U_{2})=2.
  • (1,-1,5,-9)\in U_{1}.
Força aí — já temos tudo pronto para marcar a alternativa certa.

Resposta

D

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