Assinale a alternativa correta:
A \operatorname{dim}\left(U_{1}\right)=1, \operatorname{dim}\left(U_{2}\right)=3 e (1,-1,5,-9) \notin U_{1}
B \operatorname{dim}\left(U_{1}\right)=2, \operatorname{dim}\left(U_{2}\right)=2 \mathrm{e}(1,-1,5,-9) \notin U_{1}
C \operatorname{dim}\left(U_{1}\right)=2, \operatorname{dim}\left(U_{2}\right)=3 e (1,-1,5,-9) \in U_{1}
D \operatorname{dim}\left(U_{1}\right)=2, \operatorname{dim}\left(U_{2}\right)=2 e (1,-1,5,-9) \in U_{1}
(J) \operatorname{dim}\left(U_{1}\right)=1, \operatorname{dim}\left(U_{2}\right)=2 \mathrm{e}(1,-1,5,-9) \in U_{1}
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de \mathbb{R}^{4} e pede para identificar dimensões e pertença de um vetor. Informações fornecidas:
U_{1} é o conjunto das soluções (x,y,z,w) do sistema homogêneo
Precisa-se determinar \dim(U_{1}), \dim(U_{2}) e se o vetor (1,-1,5,-9) pertence a U_{1}.]
Passo 2
Vamos achar \dim(U_{1}) encontrando a posto (rank) da matriz dos coeficientes e aplicando o teorema da dimensão do núcleo (rank–nullity). A matriz dos coeficientes é
Explicação curta (teorema usado): para uma matriz A com 4 colunas, se \operatorname{rank}(A)=r então a dimensão do espaço solução (núcleo) é 4-r. Aqui o núcleo é exatamente U_{1}.
Vamos reduzir A por eliminação de Gauss (mostrar operações para que você repita na prova):
Breve explicação didática: o posto conta quantas colunas independentes a matriz tem (ou quantas equações efetivamente independentes), e as colunas restantes correspondem a variáveis livres; o número de variáveis livres é a dimensão do espaço solução.
Para ajudar a entender a estrutura das soluções (útil para resolver pertença): a partir das linhas reduzidas as equações equivalentes são
Todas são satisfeitas, portanto (1,-1,5,-9)\in U_{1}.
(Observação alternativa usando a parametrização: pelo parâmetro z temos z=5 e pelo parâmetro w temos w=-9; esses valores levam a x=2z+w=1 e y=\tfrac{5}{2}z+\tfrac{3}{2}w=-1, confirmando a pertença.)]
Passo 5
Agora \dim(U_{2})\). Denote os vetores
\[v_{1}=(1,2,-1,3),\quad v_{2}=(1,-2,1,2),\quad v_{3}=(1,10,-5,5).
Testamos se são linearmente independentes verificando se v_{3} é combinação de v_{1} e v_{2}. Procura-se a,b tais que a v_{1}+b v_{2}=v_{3}. Das primeiras duas coordenadas obtemos o sistema
\begin{cases} a+b=1,\\[4pt] 2a-2b=10. \end{cases}
Da segunda equação a-b=5\]. Resolver
\[a+b=1,\qquad a-b=5\]
leva a \(a=3 e b=-2. Verificando as demais coordenadas:
-1\cdot a + 1\cdot b = -3+(-2)=-5\quad\text{(terceira coord.)},
3\cdot a + 2\cdot b =9-4=5\quad\text{(quarta coord.)},
que coincidem com v_{3}. Logo v_{3}=3v_{1}-2v_{2}, ou seja, os três vetores são linearmente dependentes e v_{1},v_{2} são independentes entre si (não são múltiplos um do outro). Portanto
\dim(U_{2})=2.
Explicação curta: a dimensão do subespaço gerado por vetores é o número máximo de vetores linearmente independentes entre eles; aqui apenas dois são necessários para gerar os três.]
Passo 6
Resumindo as conclusões que usaremos para escolher a alternativa correta:
\dim(U_{1})=2.
\dim(U_{2})=2.
(1,-1,5,-9)\in U_{1}.
Força aí — já temos tudo pronto para marcar a alternativa certa.