Teste 4 Sejam a \in \mathbb{R} e S o subespaço vetorial de M_{2}(\mathbb{R}) gerado pelos vetores:
\begin{gathered} A_{1}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\\\ 0 & -a \end{array}\right), \quad A_{2}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\\ a-1 & 1 \end{array}\right) \\\ A_{3}=\left(\begin{array}{cc} 2 & 2 \\\ a^{2}-1 & a^{2}+1 \end{array}\right) \quad \text { e } \quad A_{4}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\\ a^{2}-1 & a^{2}+3 a \end{array}\right) \end{gathered}
Considere as seguintes afirmações:
(I) se a \leq-2, então S=M_{2}(\mathbb{R});
(II) se \operatorname{dim}(S)=3, então a \in[-2,0];
(III) se \operatorname{dim}(S)=2, então a \geq 0.
Assinale a alternativa correta:
A apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras
B nenhuma das afirmações é verdadeira
(C) apenas a afirmação (I) é verdadeira
E apenas a afirmação (III) é verdadeira
(D) apenas a afirmação (II) é verdadeira

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes A_1,A_2,A_3,A_4\in M_2(\mathbb{R}) dependendo de um parâmetro a\in\mathbb{R}:
A_{1}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & -a\end{pmatrix},\quad A_{2}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]a-1 & 1\end{pmatrix},
A_{3}=\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]a^{2}-1 & a^{2}+1\end{pmatrix},\quad A_{4}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]a^{2}-1 & a^{2}+3a\end{pmatrix}.
O subespaço vetorial S é o gerado por esses quatro vetores (matrizes). As afirmações a verificar são:
(I) se \,a\le -2, então S=M_{2}(\mathbb{R});
(II) se \dim(S)=3, então a\in[-2,0];
(III) se \dim(S)=2, então a\ge 0.
O objetivo é decidir quais dessas afirmações são verdadeiras, isto é, determinar \dim(S) em função de a e checar as implicações pedidas.]

Passo 2

Observação-chave (colocar o problema em forma mais simples). Note que, em cada A_i, a primeira linha tem entradas iguais (a primeira linha é (x,x) para algum x). Escrevendo cada matriz como vetor em \mathbb{R}^{4} pela ordenação (m_{11},m_{12},m_{21},m_{22}), todos os A_i têm a forma (x,x,y,z). Assim S está contido no subespaço
U=\{(x,x,y,z)\in\mathbb{R}^4\}.
Explicando por quê: todos os A_i têm m_{11}=m_{12}, logo qualquer combinação linear também terá essa propriedade. O subespaço U tem dimensão 3 (por exemplo, uma base razoável é formada pelas matrizes correspondentes a x-unitário, y-unitário e z-unitário):
E_1=\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\quad E_2=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\quad E_3=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}.
Portanto \dim(S)\le 3 para todo a. Isso já é suficiente para concluir que (I) é falsa, pois M_2(\mathbb{R}) tem dimensão 4 e S nunca alcança dimensão 4. Mas vamos seguir calculando \dim(S) com precisão para checar (II) e (III).]

Passo 3

Conveniente identificar U com \mathbb{R}^3 pelo isomorfismo
\varphi: (x,x,y,z)\in U \longmapsto (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.
Aplicando \varphi às matrizes A_i obtemos os vetores em \mathbb{R}^3:
v_1=\varphi(A_1)=\bigl(1,\,0,\,-a\bigr), \quad v_2=\varphi(A_2)=\bigl(1,\,a-1,\,1\bigr),
v_3=\varphi(A_3)=\bigl(2,\,a^2-1,\,a^2+1\bigr), \quad v_4=\varphi(A_4)=\bigl(0,\,a^2-1,\,a^2+3a\bigr).
Então \dim(S)= dimensão do subespaço de \mathbb{R}^3 gerado por \{v_1,v_2,v_3,v_4\}. Para determinar essa dimensão, basta estudar a independência linear desses vetores em \mathbb{R}^3.

Passo 4

Testar independência de três vetores: calculemos o determinante da matriz 3\times3 cujas colunas são v_1,v_2,v_4 (escolha conveniente; qualquer outra base de 3 vetores dará condição equivalente):
M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & a-1 & a^{2}-1\\[4pt] -a & 1 & a^{2}+3a \end{pmatrix}.
Vamos calcular \det M. Desenvolvendo pela primeira linha:
\det M =1\cdot\det\begin{pmatrix}a-1 & a^{2}-1\\[4pt]1 & a^{2}+3a\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & a^{2}-1\\[4pt]-a & a^{2}+3a\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Calcule os menores:
\det\begin{pmatrix}a-1 & a^{2}-1\\[4pt]1 & a^{2}+3a\end{pmatrix} =(a-1)(a^{2}+3a)-(a^{2}-1)\!,
\det\begin{pmatrix}0 & a^{2}-1\\[4pt]-a & a^{2}+3a\end{pmatrix} =0\cdot(a^{2}+3a)-(a^{2}-1)(-a)=a(a^{2}-1).
Agora simplifique o primeiro menor:
(a-1)(a^{2}+3a)-(a^{2}-1)=a^{3}+3a^{2}-a^{2}-3a-a^{2}+1 = a^{3}+a^{2}-3a+1.
Portanto
\det M=(a^{3}+a^{2}-3a+1)-a(a^{2}-1)=a^{3}+a^{2}-3a+1-(a^{3}-a)
= a^{2}-2a+1=(a-1)^{2}.
Conclusão: \det M=(a-1)^{2}. Assim as colunas v_1,v_2,v_4 são linearmente independentes sempre que (a-1)^{2}\ne 0, i.e. para todo a\ne 1. Logo, para a\ne 1 a dimensão do subespaço gerado por \{v_1,v_2,v_4\} é 3, portanto \dim(S)=3 para todo a\ne 1.]

Passo 5

Estudo do caso a=1. Substituindo a=1 nos v_i:
v_1=(1,0,-1),\quad v_2=(1,0,1),\quad v_3=(2,0,2),\quad v_4=(0,0,4).
Perceba que a segunda componente é sempre 0, logo todos os vetores vivem em um plano de \mathbb{R}^3 (o subespaço de vetores com segunda coordenada zero). Verifiquemos a independência: v_1 e v_2 são linearmente independentes (o determinante da submatriz com as componentes (x,z) é 1\cdot 1 - 1\cdot(-1)=2\ne 0). Além disso, v_3 e v_4 estão no span de v_1 e v_2:
v_3 = 0\cdot v_1 + 2\cdot v_2,\qquad v_4 = -2\cdot v_1 + 2\cdot v_2.
Portanto, quando a=1 o espaço gerado tem dimensão 2. Não há caso em que \dim(S)=1 ou 0 (isso exigiria que todos os vetores fossem múltiplos de um mesmo vetor; não ocorre aqui), então os únicos possíveis valores de \dim(S) são 2 (quando a=1) e 3 (quando a\ne 1).

Passo 6

Agora verificação das afirmações:
  • (I) "se \,a\le -2, então S=M_2(\mathbb{R})". Falso, porque já vimos que \dim(S)\le 3 sempre; M_2(\mathbb{R}) tem dimensão 4. Assim (I) é falsa para todo a, inclusive para a\le -2.
  • (II) "se \dim(S)=3, então a\in[-2,0]". Falso. Nós mostramos que \dim(S)=3 sempre que a\ne 1. Em particular, para a=2 (que não pertence a [-2,0]) temos \dim(S)=3 (pois (2-1)^2=1\ne 0). Assim (II) é falsa; a condição \dim(S)=3 não restringe a a esse intervalo.
  • (III) "se \dim(S)=2, então a\ge 0". Verdadeira, porque o único valor de a que produz \dim(S)=2 é a=1, e 1\ge 0. Logo a implicação é verdadeira (temos exatamente um a que dá dimensão 2, e esse a satisfaz a\ge0).

Passo 7

Conclusão combinada: apenas a afirmação (III) é verdadeira.

Resposta

E apenas a afirmação (III) é verdadeira

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