Considere as seguintes afirmações:
(I) se a \leq-2, então S=M_{2}(\mathbb{R});
(II) se \operatorname{dim}(S)=3, então a \in[-2,0];
(III) se \operatorname{dim}(S)=2, então a \geq 0.
Assinale a alternativa correta:
A apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras
B nenhuma das afirmações é verdadeira
(C) apenas a afirmação (I) é verdadeira
E apenas a afirmação (III) é verdadeira
(D) apenas a afirmação (II) é verdadeira
Passo 1
O enunciado dá quatro matrizes A_1,A_2,A_3,A_4\in M_2(\mathbb{R}) dependendo de um parâmetro a\in\mathbb{R}:
O subespaço vetorial S é o gerado por esses quatro vetores (matrizes). As afirmações a verificar são:
(I) se \,a\le -2, então S=M_{2}(\mathbb{R});
(II) se \dim(S)=3, então a\in[-2,0];
(III) se \dim(S)=2, então a\ge 0.
O objetivo é decidir quais dessas afirmações são verdadeiras, isto é, determinar \dim(S) em função de a e checar as implicações pedidas.]
Passo 2
Observação-chave (colocar o problema em forma mais simples). Note que, em cada A_i, a primeira linha tem entradas iguais (a primeira linha é (x,x) para algum x). Escrevendo cada matriz como vetor em \mathbb{R}^{4} pela ordenação (m_{11},m_{12},m_{21},m_{22}), todos os A_i têm a forma (x,x,y,z). Assim S está contido no subespaço
U=\{(x,x,y,z)\in\mathbb{R}^4\}.
Explicando por quê: todos os A_i têm m_{11}=m_{12}, logo qualquer combinação linear também terá essa propriedade. O subespaço U tem dimensão 3 (por exemplo, uma base razoável é formada pelas matrizes correspondentes a x-unitário, y-unitário e z-unitário):
Portanto \dim(S)\le 3 para todo a. Isso já é suficiente para concluir que (I) é falsa, pois M_2(\mathbb{R}) tem dimensão 4 e S nunca alcança dimensão 4. Mas vamos seguir calculando \dim(S) com precisão para checar (II) e (III).]
Passo 3
Conveniente identificar U com \mathbb{R}^3 pelo isomorfismo
\varphi: (x,x,y,z)\in U \longmapsto (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.
Aplicando \varphi às matrizes A_i obtemos os vetores em \mathbb{R}^3:
Então \dim(S)= dimensão do subespaço de \mathbb{R}^3 gerado por \{v_1,v_2,v_3,v_4\}. Para determinar essa dimensão, basta estudar a independência linear desses vetores em \mathbb{R}^3.
Passo 4
Testar independência de três vetores: calculemos o determinante da matriz 3\times3 cujas colunas são v_1,v_2,v_4 (escolha conveniente; qualquer outra base de 3 vetores dará condição equivalente):
Conclusão: \det M=(a-1)^{2}. Assim as colunas v_1,v_2,v_4 são linearmente independentes sempre que (a-1)^{2}\ne 0, i.e. para todo a\ne 1. Logo, para a\ne 1 a dimensão do subespaço gerado por \{v_1,v_2,v_4\} é 3, portanto \dim(S)=3 para todo a\ne 1.]
Perceba que a segunda componente é sempre 0, logo todos os vetores vivem em um plano de \mathbb{R}^3 (o subespaço de vetores com segunda coordenada zero). Verifiquemos a independência: v_1 e v_2 são linearmente independentes (o determinante da submatriz com as componentes (x,z) é 1\cdot 1 - 1\cdot(-1)=2\ne 0). Além disso, v_3 e v_4 estão no span de v_1 e v_2:
Portanto, quando a=1 o espaço gerado tem dimensão 2. Não há caso em que \dim(S)=1 ou 0 (isso exigiria que todos os vetores fossem múltiplos de um mesmo vetor; não ocorre aqui), então os únicos possíveis valores de \dim(S) são 2 (quando a=1) e 3 (quando a\ne 1).
Passo 6
Agora verificação das afirmações:
(I) "se \,a\le -2, então S=M_2(\mathbb{R})". Falso, porque já vimos que \dim(S)\le 3 sempre; M_2(\mathbb{R}) tem dimensão 4. Assim (I) é falsa para todo a, inclusive para a\le -2.
(II) "se \dim(S)=3, então a\in[-2,0]". Falso. Nós mostramos que \dim(S)=3 sempre que a\ne 1. Em particular, para a=2 (que não pertence a [-2,0]) temos \dim(S)=3 (pois (2-1)^2=1\ne 0). Assim (II) é falsa; a condição \dim(S)=3 não restringe a a esse intervalo.
(III) "se \dim(S)=2, então a\ge 0". Verdadeira, porque o único valor de a que produz \dim(S)=2 é a=1, e 1\ge 0. Logo a implicação é verdadeira (temos exatamente um a que dá dimensão 2, e esse a satisfaz a\ge0).
Passo 7
Conclusão combinada: apenas a afirmação (III) é verdadeira.