Teste 1 Considere as seguintes afirmações:
(I) existe uma única transformação linear
tal que
tem dimensão 1 e
(II) se
é um espaço vetorial de dimensão
é uma transformação linear tal que 7 é um autovalor de
e
são autovetores de
associados ao autovalor 7, então
(III) se o espaço vetorial
está munido do seu produto interno usual e
é o subespaço de
dado por
então
.
Assinale a alternativa correta:
A apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras
B apenas a afirmação (I) é verdadeira
C apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras
D apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras
E apenas a afirmação (III) é verdadeira
(I) existe uma única transformação linear
(II) se
(III) se o espaço vetorial
Assinale a alternativa correta:
A apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras
B apenas a afirmação (I) é verdadeira
C apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras
D apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras
E apenas a afirmação (III) é verdadeira
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos.
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O enunciado apresenta três afirmações e pede que identifiquemos quais são verdadeiras:
(I) existe uma única transformação lineartal que tem dimensão e
(II) seé um espaço vetorial de dimensão , é linear e é um autovalor de , e são autovetores associados a , então
(III) no produto interno usual de, o subespaço tem ortogonal -
O objetivo: determinar quais das afirmações são verdadeiras e, consequentemente, escolher a alternativa correta entre A, B, C, D, E.
Passo 2
Análise da afirmação (I). Primeiro entendendo as condições e conceitos usados.
-
O que significa
ter dimensão ? Para uma transformação linear , a dimensão do núcleo (kernel) é o número de graus de liberdade dos vetores que são enviados para o vetor zero. Pela fórmula do posto-nulidade (rank-nullity): Seentão . Ou seja, a imagem de é uma reta (um subespaço unidimensional) em . -
A condição
garante que , então de fato a imagem é gerada pelo vetor : Mas isso não fixa completamente: para qualquer vetor em , precisa ser algum múltiplo escalar de (porque a imagem é linha gerada por ), e a condição apenas especifica esse múltiplo para . -
Para ver que a transformação não é única, basta construir duas transformações lineares diferentes que satisfaçam as condições. Por exemplo, defina
por Entãoestende linearmente e tem dimensão , e como pedido. Agora definapor Então. O núcleo de é , que também tem dimensão , e novamente . -
Conclusão: existem pelo menos duas transformações distintas (
e ) que satisfazem as condições, logo a transformação não é única. Portanto a afirmação (I) é falsa.
Passo 3
Análise da afirmação (II). Vamos revisar o conceito de autovalor e autovetor e testar a afirmação.
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Por definição, se
é autovetor associado ao autovalor , então Similarmente. Para o vetor temos: Assimtambém é um autovetor (ou o vetor zero) associado ao autovalor . Para que é preciso que . Pelas contas: poise estamos em um espaço sobre . Ou seja, somente se teremos . -
Um contraexemplo simples torna a afirmação manifestamente falsa: tome
e (a transformação identidade multiplicada por ). Então qualquer vetor não-nulo é autovetor associado a . Escolha Ambos são autovetores com autovalor, mas e então. -
Conclusão: a afirmação (II) é falsa (não vale em geral, só seria verdade se o autovalor fosse
).
Passo 4
Análise da afirmação (III). Vou mostrar por que é verdadeira, explicando a relação entre equações lineares e ortogonais.
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O subespaço
é dado por duas equações lineares: Podemos interpretar cada equação como o produto interno com um vetor normal sendo zero. Escrevendo os vetores normais:Entãoé exatamente -
Uma propriedade básica: se um subespaço é descrito como a interseção dos núcleos de alguns funcionais lineares (aqui os funcionais dados por
), então o ortogonal de é o subespaço gerado por esses vetores normais. Em símbolos: -
Só resta conferir que
e são linearmente independentes (para que de fato gerem um subespaço de dimensão , compatível com a dimensão esperada de ). Suponha que existam escalares com Escrevendo coordenadas:Isso dá(pela segunda coordenada) e então (pela primeira coordenada). Logo são independentes. -
A contagem de dimensões confirma: duas equações independentes em
definem um subespaço de dimensão , então também tem dimensão , e é exatamente esse subespaço. Portanto que coincide com o que a afirmação (III) diz. -
Conclusão: a afirmação (III) é verdadeira.
Passo 5
Resumo final das verdades das afirmações:
- (I) falsa.
- (II) falsa.
- (III) verdadeira.
Portanto apenas (III) é verdadeira — corresponde à alternativa E.
Resposta
E