Teste 1 Considere as seguintes afirmações:
(I) existe uma única transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que \operatorname{Ker}(T) tem dimensão 1 e T(1,0)=(1,1) ;
(II) se V é um espaço vetorial de dimensão 5, T: V \rightarrow V é uma transformação linear tal que 7 é um autovalor de T e v, w \in V são autovetores de T associados ao autovalor 7, então v-w \in \operatorname{Ker}(T) ;
(III) se o espaço vetorial \mathbb{R}^{4} está munido do seu produto interno usual e U é o subespaço de \mathbb{R}^{4} dado por
U=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4}: x+y+z+w=0 \text { e } x-w=0\right\}
então U^{\perp}=[(1,1,1,1),(1,0,0,-1)].
Assinale a alternativa correta:
A apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras
B apenas a afirmação (I) é verdadeira
C apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras
D apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras
E apenas a afirmação (III) é verdadeira

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos.
  • O enunciado apresenta três afirmações e pede que identifiquemos quais são verdadeiras:
    (I) existe uma única transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que \operatorname{Ker}(T) tem dimensão 1 e T(1,0)=(1,1);
    (II) se V é um espaço vetorial de dimensão 5, T: V \rightarrow V é linear e 7 é um autovalor de T, e v,w\in V são autovetores associados a 7, então v-w\in\operatorname{Ker}(T);
    (III) no produto interno usual de \mathbb{R}^{4}, o subespaço
    U=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^{4}: x+y+z+w=0 \text{ e } x-w=0\}
    tem ortogonal
    U^{\perp}=[(1,1,1,1),(1,0,0,-1)].
  • O objetivo: determinar quais das afirmações são verdadeiras e, consequentemente, escolher a alternativa correta entre A, B, C, D, E.

Passo 2

Análise da afirmação (I). Primeiro entendendo as condições e conceitos usados.
  • O que significa \operatorname{Ker}(T) ter dimensão 1? Para uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, a dimensão do núcleo (kernel) é o número de graus de liberdade dos vetores que são enviados para o vetor zero. Pela fórmula do posto-nulidade (rank-nullity):
    \dim\operatorname{Ker}(T)+\dim\operatorname{Im}(T)=\dim\mathbb{R}^2=2.
    Se \dim\operatorname{Ker}(T)=1 então \dim\operatorname{Im}(T)=1. Ou seja, a imagem de T é uma reta (um subespaço unidimensional) em \mathbb{R}^2.
  • A condição T(1,0)=(1,1) garante que T(1,0)\neq 0, então de fato a imagem é gerada pelo vetor (1,1):
    \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,1)\}.
    Mas isso não fixa completamente T: para qualquer vetor v em \mathbb{R}^2, T(v) precisa ser algum múltiplo escalar de (1,1) (porque a imagem é linha gerada por (1,1)), e a condição apenas especifica esse múltiplo para v=(1,0).
  • Para ver que a transformação não é única, basta construir duas transformações lineares diferentes que satisfaçam as condições. Por exemplo, defina T_1 por
    T_1(1,0)=(1,1),\qquad T_1(0,1)=(0,0).
    Então T_1 estende linearmente e \operatorname{Ker}(T_1)=\operatorname{span}\{(0,1)\} tem dimensão 1, e T_1(1,0)=(1,1) como pedido.
    Agora defina T_2 por
    T_2(1,0)=(1,1),\qquad T_2(0,1)=(1,1).
    Então T_2(a,b)= (a+b)(1,1). O núcleo de T_2 é \{(a,b):a+b=0\}=\operatorname{span}\{(1,-1)\}, que também tem dimensão 1, e novamente T_2(1,0)=(1,1).
  • Conclusão: existem pelo menos duas transformações distintas ( T_1 e T_2) que satisfazem as condições, logo a transformação não é única. Portanto a afirmação (I) é falsa.

Passo 3

Análise da afirmação (II). Vamos revisar o conceito de autovalor e autovetor e testar a afirmação.
  • Por definição, se v é autovetor associado ao autovalor 7, então
    T(v)=7v.
    Similarmente T(w)=7w. Para o vetor v-w temos:
    T(v-w)=T(v)-T(w)=7v-7w=7(v-w).
    Assim v-w também é um autovetor (ou o vetor zero) associado ao autovalor 7. Para que v-w\in\operatorname{Ker}(T) é preciso que T(v-w)=0. Pelas contas:
    T(v-w)=7(v-w)=0 \quad\Longrightarrow\quad 7(v-w)=0 \quad\Longrightarrow\quad v-w=0,
    pois 7\neq 0 e estamos em um espaço sobre \mathbb{R}. Ou seja, somente se v=w teremos v-w\in\operatorname{Ker}(T).
  • Um contraexemplo simples torna a afirmação manifestamente falsa: tome V=\mathbb{R}^5 e T=7I (a transformação identidade multiplicada por 7). Então qualquer vetor não-nulo é autovetor associado a 7. Escolha
    v=(1,0,0,0,0),\qquad w=(0,1,0,0,0).
    Ambos são autovetores com autovalor 7, mas v-w\neq 0 e
    T(v-w)=7(v-w)\neq 0,
    então v-w\notin\operatorname{Ker}(T).
  • Conclusão: a afirmação (II) é falsa (não vale em geral, só seria verdade se o autovalor fosse 0).

Passo 4

Análise da afirmação (III). Vou mostrar por que é verdadeira, explicando a relação entre equações lineares e ortogonais.
  • O subespaço U é dado por duas equações lineares:
    x+y+z+w=0,\qquad x-w=0.
    Podemos interpretar cada equação como o produto interno com um vetor normal sendo zero. Escrevendo os vetores normais:
    a_1=(1,1,1,1),\qquad a_2=(1,0,0,-1).
    Então U é exatamente
    U=\{u\in\mathbb{R}^4:\langle a_1,u\rangle=0 \text{ e } \langle a_2,u\rangle=0\}=\ker(a_1)\cap\ker(a_2).
  • Uma propriedade básica: se um subespaço é descrito como a interseção dos núcleos de alguns funcionais lineares (aqui os funcionais dados por \langle a_i,\cdot\rangle), então o ortogonal de U é o subespaço gerado por esses vetores normais. Em símbolos:
    U^{\perp}=\operatorname{span}\{a_1,a_2\}.
  • Só resta conferir que a_1 e a_2 são linearmente independentes (para que de fato gerem um subespaço de dimensão 2, compatível com a dimensão esperada de U^{\perp}). Suponha que existam escalares c_1,c_2 com
    c_1a_1+c_2a_2=0.
    Escrevendo coordenadas:
    (c_1+c_2,\; c_1,\; c_1,\; c_1-c_2)=(0,0,0,0).
    Isso dá c_1=0 (pela segunda coordenada) e então c_2=0 (pela primeira coordenada). Logo são independentes.
  • A contagem de dimensões confirma: duas equações independentes em \mathbb{R}^4 definem um subespaço U de dimensão 2, então U^{\perp} também tem dimensão 2, e \operatorname{span}\{a_1,a_2\} é exatamente esse subespaço. Portanto
    U^{\perp}=\operatorname{span}\{(1,1,1,1),(1,0,0,-1)\},
    que coincide com o que a afirmação (III) diz.
  • Conclusão: a afirmação (III) é verdadeira.

Passo 5

Resumo final das verdades das afirmações:
  • (I) falsa.
  • (II) falsa.
  • (III) verdadeira.
Portanto apenas (III) é verdadeira — corresponde à alternativa E.

Resposta

E

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