Determine o valor de \boldsymbol{a} para que a sequência \overrightarrow{\boldsymbol{u}}=(-\mathbf{1}, \mathbf{3}, \mathbf{2}), \overrightarrow{\boldsymbol{v}}=(\boldsymbol{a}, \mathbf{2},-\mathbf{3}) e \overrightarrow{\boldsymbol{w}}=(-\mathbf{2}, \mathbf{2}-\boldsymbol{a}, \mathbf{1}) não seja base.
Passo 1
O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^{3} e pede o(s) valor(es) de a para que eles não formem uma base. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Vetores fornecidos:
\overrightarrow{u}=(-1,\,3,\,2).
\overrightarrow{v}=(a,\,2,\,-3).
\overrightarrow{w}=(-2,\,2-a,\,1).
O que o enunciado pede:
Determinar o(s) valor(es) de a tais que os vetores \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w} NÃO sejam uma base de \mathbb{R}^{3}.
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática): três vetores em \mathbb{R}^{3} formam uma base exatamente quando são linearmente independentes. Uma forma prática de verificar isso é montar a matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores e calcular o determinante dessa matriz:
Se \det(M)\neq 0 então as colunas são linearmente independentes e formam base.
Se \det(M)=0 então as colunas são linearmente dependentes e não formam base.
Portanto, para achar os valores de a que fazem com que os vetores não sejam base, basta montar a matriz com as três colunas iguais a \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}, calcular o determinante e resolver \det(M)=0.
Uma observação prática: usar as colunas é só uma convenção; usar linhas daria o mesmo resultado (determinante igual).
Passo 3
Montar a matriz M cujas colunas são \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}:
Encontrar os valores de a tais que os vetores não formam base é resolver \det(M)=0. Assim:
-2a^{2}+4a+18=0.
Dividindo por -2 (para simplificar):
a^{2}-2a-9=0.
Usando a fórmula quadrática \displaystyle a=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} (aqui atenção: na fórmula os coeficientes são os do polinômio a^{2}-2a-9, isto é A=1, B=-2, C=-9), obtemos:
Interpretação final e verificação rápida: para a=1+\sqrt{10} ou a=1-\sqrt{10} temos \det(M)=0, o que significa que as colunas são linearmente dependentes e, portanto, os vetores NÃO formam uma base de \mathbb{R}^{3}. Para qualquer outro valor de a o determinante é diferente de zero e os vetores formam uma base.
Força aí — você já tem os valores exatos e o raciocínio completo para justificar na prova!