Determine o valor de \boldsymbol{a} para que a sequência \overrightarrow{\boldsymbol{u}}=(-\mathbf{1}, \mathbf{3}, \mathbf{2}), \overrightarrow{\boldsymbol{v}}=(\boldsymbol{a}, \mathbf{2},-\mathbf{3}) e \overrightarrow{\boldsymbol{w}}=(-\mathbf{2}, \mathbf{2}-\boldsymbol{a}, \mathbf{1}) não seja base.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^{3} e pede o(s) valor(es) de a para que eles não formem uma base. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • Vetores fornecidos:
    • \overrightarrow{u}=(-1,\,3,\,2).
    • \overrightarrow{v}=(a,\,2,\,-3).
    • \overrightarrow{w}=(-2,\,2-a,\,1).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o(s) valor(es) de a tais que os vetores \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w} NÃO sejam uma base de \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): três vetores em \mathbb{R}^{3} formam uma base exatamente quando são linearmente independentes. Uma forma prática de verificar isso é montar a matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores e calcular o determinante dessa matriz:
  • Se \det(M)\neq 0 então as colunas são linearmente independentes e formam base.
  • Se \det(M)=0 então as colunas são linearmente dependentes e não formam base.
Portanto, para achar os valores de a que fazem com que os vetores não sejam base, basta montar a matriz com as três colunas iguais a \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}, calcular o determinante e resolver \det(M)=0.
Uma observação prática: usar as colunas é só uma convenção; usar linhas daria o mesmo resultado (determinante igual).

Passo 3

Montar a matriz M cujas colunas são \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}:
M=\begin{pmatrix} -1 & a & -2\\[4pt] 3 & 2 & 2-a\\[4pt] 2 & -3 & 1 \end{pmatrix}.
A partir daqui vamos calcular \det(M) explicitamente em função de a.]

Passo 4

Cálculo do determinante (usando a regra de Sarrus para 3\times3, que é uma maneira prática de lembrar os produtos das diagonais):
Para uma matriz \begin{pmatrix}a&b&c\\\ d&e&f\\\ g&h&i\end{pmatrix} vale
\det = aei + bfg + cdh - (ceg + bdi + afh).
Aplicando isso a M, identificando:
a=-1,\quad b=a,\quad c=-2,\quad d=3,\quad e=2,\quad f=2-a,\quad g=2,\quad h=-3,\quad i=1,
temos os termos positivos:
aei = (-1)\cdot 2\cdot 1 = -2,
bfg = a\cdot(2-a)\cdot 2 = 2a(2-a) = 4a-2a^{2},
cdh = (-2)\cdot 3\cdot(-3) = 18.
Somando os termos positivos:
-2 + (4a-2a^{2}) + 18 = -2a^{2} +4a +16.
Agora os termos a serem subtraídos:
ceg = (-2)\cdot 2\cdot 2 = -8,
bdi = a\cdot 3\cdot 1 = 3a,
afh = (-1)\cdot(2-a)\cdot(-3) = 3(2-a)=6-3a.
Somando esses termos:
-8 + 3a + (6-3a) = -2.
Portanto o determinante é
\det(M)=\bigl(-2a^{2}+4a+16\bigr) - (-2) = -2a^{2}+4a+18.

Passo 5

Encontrar os valores de a tais que os vetores não formam base é resolver \det(M)=0. Assim:
-2a^{2}+4a+18=0.
Dividindo por -2 (para simplificar):
a^{2}-2a-9=0.
Usando a fórmula quadrática \displaystyle a=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} (aqui atenção: na fórmula os coeficientes são os do polinômio a^{2}-2a-9, isto é A=1, B=-2, C=-9), obtemos:
a=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot(-9)}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{4+36}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{40}}{2}.
Simplificando \sqrt{40}=2\sqrt{10}:
a=\frac{2\pm 2\sqrt{10}}{2}=1\pm\sqrt{10}.

Passo 6

Interpretação final e verificação rápida: para a=1+\sqrt{10} ou a=1-\sqrt{10} temos \det(M)=0, o que significa que as colunas são linearmente dependentes e, portanto, os vetores NÃO formam uma base de \mathbb{R}^{3}. Para qualquer outro valor de a o determinante é diferente de zero e os vetores formam uma base.
Força aí — você já tem os valores exatos e o raciocínio completo para justificar na prova!

Resposta

a=1+\sqrt{10}
a=1-\sqrt{10}

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