Um teste de aptidão para o exercício de certa profissão exige uma sequência de operações a serem executadas rapidamente uma após a outra. Para passar no teste, o candidato deve completá-lo em 80 minutos no máximo. Admita que o tempo para completar o teste seja uma variável aleatória N(90,400).
Os melhores 5 % receberão um certificado especial. Qual o tempo máximo para fazer jus a tal certificado?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: o tempo que a galera leva pra fazer um teste segue uma Normal com média 90 minutos e variância 400 (ou desvio-padrão 20). Quem terminar mais rápido (os 5% melhores) ganha um certificado. A pergunta é: qual é o tempo máximo pra estar nesse top 5%?
Conteúdo: distribuição Normal, percentil de uma Normal. Vamos precisar saber como achar o valor P(X <= t) = 0,05 tal que
onde .

Passo 2

Primeiro, lembra que em Normal padrão P(Z <= z) = 0,05 , a gente usa tabelas ou calculadora pra achar quantil. Precisamos achar z0,05 approx -1,645 tal que
Esse valor (o 5º percentil da Normal padrão) é aproximadamente
Isso vem de tabelas ou da função inversa da Normal padrão.

Passo 3

Agora fazemos a transformação da Normal geral Z = X - musigma pra Normal padrão:
P(X <= t) = 0,05 Long<=ftrightarrow P!l(X-9020 <= t-9020r) = 0,05
Queremos exatamente o tal que
Ou seja,

Passo 4

Isolando t - 9020 = -1,645 Longrightarrow t - 90 = -1,645 times 20 Longrightarrow t = 90 - 1,645 times 20 :
1,645 times 20 = 32,9,
Calculando:
t = 90 - 32,9 = 57,1
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Resposta

O tempo máximo para estar entre os 5% mais rápidos é cerca de 57,1 minutos.

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