Um teste de aptidão feito por pilotos de aeronaves em treinamento inicial requer que uma série de operações seja realizada em uma rápida sucessão. Suponha que o tempo necessário para completar o teste seja distribuído de acordo com uma Normal de média 85 minutos e desvio padrão 15 minutos.
Para passar no teste, o candidato deve completá-lo em menos de 80 minutos. Se 85 candidatos tomam o teste, quantos são esperados passar?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (lista clara do que foi pedido e do que foi dado):
  • O tempo necessário para completar o teste segue uma distribuição Normal com média \mu=85 minutos e desvio padrão \sigma=15 minutos.
  • Para passar, o candidato deve completar o teste em menos de 80 minutos.
  • O número de candidatos que fazem o teste é 85.
    O que o enunciado pede: determinar quantos candidatos, em média (esperados), irão passar no teste.

Passo 2

Estratégia geral (sem cálculos ainda): para saber quantos passam em média, primeiro calculamos a probabilidade de um único candidato passar, isto é \mathbb{P}(X<80) onde X é o tempo do teste. Em seguida, como cada candidato é uma realização independente do mesmo experimento, o número esperado de aprovados em 85 candidatos é 85 vezes essa probabilidade. Agora vamos fazer isso passo a passo.

Passo 3

Entendendo a distribuição Normal e padronização: se X é Normal com média \mu e desvio padrão \sigma, para calcular probabilidades usamos a padronização ao desvio padrão padrão Z (a Normal padrão com média 0 e desvio padrão 1):
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui queremos \mathbb{P}(X<80). Substituindo \mu=85 e \sigma=15 obtemos o escore-z correspondente ao tempo 80:
z=\frac{80-85}{15}=-\frac{5}{15}=-\frac{1}{3}=-0,3333\ldots

Passo 4

Converter a probabilidade para a Normal padrão e usar a simetria da Normal padrão:
\mathbb{P}(X<80)=\mathbb{P}\!\left(Z<-\tfrac{1}{3}\right).
Pela simetria da Normal padrão vale \Phi(-a)=1-\Phi(a), onde \Phi é a função de distribuição acumulada da Normal padrão. Assim
\mathbb{P}\!\left(Z<-\tfrac{1}{3}\right)=1-\Phi\!\left(\tfrac{1}{3}\right).
Agora precisamos de \Phi\!\left(\tfrac{1}{3}\right). Usando tabela da Normal padrão ou interpolação:
\Phi(0,33)\approx0,6293 e \Phi(0,34)\approx0,6331. Para 0,3333 (um terço) interpolando linearmente:
\Phi\!\left(0,3333\right)\approx0,6293+{\tfrac{1}{3}}\bigl(0,6331-0,6293\bigr)\approx0,6306.
Portanto
\mathbb{P}(X<80)\approx1-0,6306=0,3694.

Passo 5

Interpretando o valor obtido: a probabilidade de um candidato individual completar o teste em menos de 80 minutos é aproximadamente 0,3694 (ou 36,94\%). Isso significa que, em média, a fração de candidatos que passa é 0,3694.

Passo 6

Calcular o número esperado de aprovados entre 85 candidatos: o valor esperado E é
E = 85\times 0,3694 \approx 31,399.
Em termos práticos, o número esperado de aprovados é aproximadamente 31,4. Como o número de pessoas tem que ser inteiro em situações reais, diz-se que espera-se cerca de 31 candidatos aprovados (mas matematicamente o valor esperado é 31,4).

Resposta

31,4 candidatos (aproximadamente 31 candidatos).

Exercícios relacionados