Um teste de aptidão feito por pilotos de aeronaves em treinamento inicial requer que uma série de operações seja realizada em uma rápida sucessão. Suponha que o tempo necessário para completar o teste seja distribuído de acordo com uma Normal de média 85 minutos e desvio padrão 15 minutos.
Para passar no teste, o candidato deve completá-lo em menos de 80 minutos. Se 85 candidatos tomam o teste, quantos são esperados passar?
Para passar no teste, o candidato deve completá-lo em menos de 80 minutos. Se 85 candidatos tomam o teste, quantos são esperados passar?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (lista clara do que foi pedido e do que foi dado):
- O tempo necessário para completar o teste segue uma distribuição Normal com média
minutos e desvio padrão minutos. - Para passar, o candidato deve completar o teste em menos de
minutos. - O número de candidatos que fazem o teste é
.
O que o enunciado pede: determinar quantos candidatos, em média (esperados), irão passar no teste.
Passo 2
Estratégia geral (sem cálculos ainda): para saber quantos passam em média, primeiro calculamos a probabilidade de um único candidato passar, isto é
onde
é o tempo do teste. Em seguida, como cada candidato é uma realização independente do mesmo experimento, o número esperado de aprovados em
candidatos é
vezes essa probabilidade. Agora vamos fazer isso passo a passo.
Passo 3
Entendendo a distribuição Normal e padronização: se
é Normal com média
e desvio padrão
, para calcular probabilidades usamos a padronização ao desvio padrão padrão
(a Normal padrão com média
e desvio padrão
):
Aqui queremos
. Substituindo
e
obtemos o escore-z correspondente ao tempo
:
Passo 4
Converter a probabilidade para a Normal padrão e usar a simetria da Normal padrão:
Pela simetria da Normal padrão vale
, onde
é a função de distribuição acumulada da Normal padrão. Assim
Agora precisamos de
. Usando tabela da Normal padrão ou interpolação:
e
. Para
(um terço) interpolando linearmente:
Portanto
Passo 5
Interpretando o valor obtido: a probabilidade de um candidato individual completar o teste em menos de
minutos é aproximadamente
(ou
). Isso significa que, em média, a fração de candidatos que passa é
.
Passo 6
Calcular o número esperado de aprovados entre
candidatos: o valor esperado
é
Em termos práticos, o número esperado de aprovados é aproximadamente
. Como o número de pessoas tem que ser inteiro em situações reais, diz-se que espera-se cerca de
candidatos aprovados (mas matematicamente o valor esperado é
).